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Hallo Mathcomm
Bei der gewöhnlichen DGL 2. Ordnung komm ich beim rotumkreisten Integral nicht weiter. Wir wissen ja das, ∫(1/g(t))dg(t) = ln | t | + c geben würde gemäss der Integraltabelle. Doch wie ist es, wenn da plötzlich d^2g(t) steht?
Was soll das geben, wenn ich ln | t | +c nochmals integriere? Oder bin ich das komplett aufm Holzweg mit meiner Rechnung?
Und auch hier, wie kommen da wieder die trigo Ausdrücke bei der Lösung ins Spiel?
Bitte um einen kurzen Hinweis oder Denkanstoss.
Grüsse
Bei der gewöhnlichen DGL 2. Ordnung komm ich beim rotumkreisten Integral nicht weiter. Wir wissen ja das, ∫(1/g(t))dg(t) = ln | t | + c geben würde gemäss der Integraltabelle. Doch wie ist es, wenn da plötzlich d^2g(t) steht?
Was soll das geben, wenn ich ln | t | +c nochmals integriere? Oder bin ich das komplett aufm Holzweg mit meiner Rechnung?
Und auch hier, wie kommen da wieder die trigo Ausdrücke bei der Lösung ins Spiel?
Bitte um einen kurzen Hinweis oder Denkanstoss.
Grüsse
EDIT vom 26.01.2023 um 20:47:
1EDIT vom 26.01.2023 um 21:00:
@gardylulz
Danke für den Notationshinweis. Mit dem TdV sollte es ja eigentlich prima gehen. Wurde oft im Script gemacht.
Ich habe nochmals die ganze Aufgabe hochgeladen. Stimmt mein Weg links (rot geschrieben) und ist die Lösung korrekt?
Und der Weg rechts (blau geschrieben), wo ich d^2g(t) und dt^2 in den Integralen habe, wie löse ich die auf? dt^2 ist mir klar. Aber Integral von (1/g(t))*d^2g(t)? zB Integral von (1/g(t))*dg(t) = ln | x | + c, aber was wäre dann Integral von ln | x | + c ? Ich finde das in keiner Integraltabelle? Oder bin ich da aufm Holzweg bzw ist das d^2 im Integral keine Aufforderung zum 2x integrieren?
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gefragt
polymechanical
Student, Punkte: 214
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Was für eine Doppelfrage? In der Frage gehts ja hauptsächlich ums Integrieren. Also, nochmal: Bin ich beim Auflösen des Integrals, damit ich die Funktion g(t) bekomme aufm Holzweg und wie löst man solche Integrale, wo d^2 drin steht?
─
polymechanical
26.01.2023 um 18:38
Zuerst mal gilt: \( \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2} \) somit ist schon deine Notation falsch und schon nicht sehr erfolgsversprechend, => nochmal mit der Notation vertraut machen
Zweitens: Trennung der Variablen ist bei DGL 2. Ordnung eher selten der direkte Weg zur Lösung. Oftmals muss man (teils sehr) geschickte Umformungen machen, bevor dies möglich ist => Lösungsmethoden für DGL 2. Ordnung nachschlagen.
Drittens: Das ist die wohl gängigste DGL 2. Ordnung. Die Form und Lösung dafür solltest du für später auswendig kennen. (egal ob du am Ende selbst auf die Lösung gekommen bist oder nicht) (google mal nach "Harmonischer Oszillator"
Arbeite Punkt 1 und 2 ab und dann kannst du gerne nochmal herkommen und sagen woran du genau scheiterst. Mir scheint es, dass da noch etwas grundlegendes Wissen fehlt, bevor mit DGL 2. Ordnung beginnen kannst. ─ gardylulz 26.01.2023 um 18:59
Zweitens: Trennung der Variablen ist bei DGL 2. Ordnung eher selten der direkte Weg zur Lösung. Oftmals muss man (teils sehr) geschickte Umformungen machen, bevor dies möglich ist => Lösungsmethoden für DGL 2. Ordnung nachschlagen.
Drittens: Das ist die wohl gängigste DGL 2. Ordnung. Die Form und Lösung dafür solltest du für später auswendig kennen. (egal ob du am Ende selbst auf die Lösung gekommen bist oder nicht) (google mal nach "Harmonischer Oszillator"
Arbeite Punkt 1 und 2 ab und dann kannst du gerne nochmal herkommen und sagen woran du genau scheiterst. Mir scheint es, dass da noch etwas grundlegendes Wissen fehlt, bevor mit DGL 2. Ordnung beginnen kannst. ─ gardylulz 26.01.2023 um 18:59
Das in rot ist Quatsch, denn $g''\neq (g')^2$.
─
cauchy
26.01.2023 um 21:19
https://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)#Differentiale_als_Rechenhilfe
Nur als Information. Dass es in gewissen Fällen gut geht, bedeutet nicht, dass es immer gut geht. Sowas scheint aber häufiger zu passieren: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=206786 ─ cauchy 26.01.2023 um 21:40
Nur als Information. Dass es in gewissen Fällen gut geht, bedeutet nicht, dass es immer gut geht. Sowas scheint aber häufiger zu passieren: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=206786 ─ cauchy 26.01.2023 um 21:40
@cauchy Das in rot ist Quatsch, denn g′′≠(g′)2. Danke für den Hinweis!
Nochmals zu dem rechts in blau: Warum funktioniert denn das TdV dort nicht? bzw Was wird da falsch gemacht und warum kann man dann nicht 2x integrieren am Schluss und formt dann nach g(t) um? Auf matheplanet steht, dass das nicht von DGL 1. Ordnung 2. Ordnung übertragen werden kann. Aber warum denn genau nicht? Wo liegt der klare bedeutende Fehler?
─ polymechanical 26.01.2023 um 22:17
Nochmals zu dem rechts in blau: Warum funktioniert denn das TdV dort nicht? bzw Was wird da falsch gemacht und warum kann man dann nicht 2x integrieren am Schluss und formt dann nach g(t) um? Auf matheplanet steht, dass das nicht von DGL 1. Ordnung 2. Ordnung übertragen werden kann. Aber warum denn genau nicht? Wo liegt der klare bedeutende Fehler?
─ polymechanical 26.01.2023 um 22:17
Dein Ansatz mit \( \int d^2t \) führt zu nichts, da es korrekt (aus der Sicht eines Physikers) umgeformt folgendes wäre:
\( \ddot{g} =\frac{d}{dt}\left(\dot{g}(t) \right) = -\lambda^2 g(t)\)
Würdest du beide Seiten über \(dt\) integrieren würdest du hier landen
\( \int \frac{d}{dt}\left(\dot{g}(t) \right) dt = -\lambda^2 \int g(t) dt\)
\( \dot{g}(t)= -\lambda^2 \int g(t) dt\)
das bringt dich halt eben nicht weiter.
So simpel die DGL eigentlich ist, ist das Finden ihrer Lösung ohne die passende Methode nicht sehr aussichtsreich.
Hier hast du 11 mögliche Lösungswege:
https://math.stackexchange.com/questions/1575291/how-to-solve-harmonic-oscillator-differential-equation-dfracd2xdt2-d
DGLs 2. Ordnung schauen vielleicht harmlos aus, aber benötigen oftmals schon paar Tricks. Diese Tricks nennen sich Methoden und die muss man lernen anzuwenden bzw. zu erkennen welche Methode erfolgsversprechend ist. ─ gardylulz 26.01.2023 um 23:14
\( \ddot{g} =\frac{d}{dt}\left(\dot{g}(t) \right) = -\lambda^2 g(t)\)
Würdest du beide Seiten über \(dt\) integrieren würdest du hier landen
\( \int \frac{d}{dt}\left(\dot{g}(t) \right) dt = -\lambda^2 \int g(t) dt\)
\( \dot{g}(t)= -\lambda^2 \int g(t) dt\)
das bringt dich halt eben nicht weiter.
So simpel die DGL eigentlich ist, ist das Finden ihrer Lösung ohne die passende Methode nicht sehr aussichtsreich.
Hier hast du 11 mögliche Lösungswege:
https://math.stackexchange.com/questions/1575291/how-to-solve-harmonic-oscillator-differential-equation-dfracd2xdt2-d
DGLs 2. Ordnung schauen vielleicht harmlos aus, aber benötigen oftmals schon paar Tricks. Diese Tricks nennen sich Methoden und die muss man lernen anzuwenden bzw. zu erkennen welche Methode erfolgsversprechend ist. ─ gardylulz 26.01.2023 um 23:14
Warum das nicht geht, steht auch im Wiki-Artikel. Mit Differentialen zu Rechnen ist halt... Naja.
─
cauchy
26.01.2023 um 23:18
Das vergessen Nicht-Mathematiker ganz schnell wieso man das nicht darf bzw. oft wird der Hintergrund nicht genau genug erläutert und die Leute vergessen es einfach, da es in Übungs- und Klausuraufgaben praktisch nie zu der Situation kommt und alles schön lösbar ist.
─
gardylulz
26.01.2023 um 23:23
@gardylulz
Vielen Dank für die Erklärung und den Link.
Das heisst, dass die DGL mit der Methode einfach nicht lösbar ist, weil es quasi zu nichts führt, ohne genau sagen zu können, warum. ─ polymechanical 26.01.2023 um 23:36
Vielen Dank für die Erklärung und den Link.
Das heisst, dass die DGL mit der Methode einfach nicht lösbar ist, weil es quasi zu nichts führt, ohne genau sagen zu können, warum. ─ polymechanical 26.01.2023 um 23:36
Weil man mit Differentialen auf diese Art und Weise nicht rechnen kann...
─
cauchy
27.01.2023 um 00:02