Jakob-Matrix, Divergenz und Kofaktoren

Aufrufe: 164     Aktiv: 02.07.2024 um 00:03
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Guten Tag, 
ich würde gern folgenden Beweis verstehen, vielleicht könnt ihr mir dabei helfen.

Es seien $D \subseteq \mathbb{R}^n$ offen und $v \in C^2([0,1]\times D, \mathbb{R}^n).$ Mit den Kofaktoren $C_{ij}(t,x)$  definiert man $C_{i}:=(C_{i1},\dots,C_{in})^T$ für $i=1,\dots,n.$
Für $Jv=\det Dv$ gilt dann
$$\frac{\partial}{\partial t}J_v=\sum_{i=1}^{n} \textrm{div}(\dot{v_{i}}C_i)).$$
 
Beweis:
$$\frac{\partial}{\partial t}J_v = \sum_{j=1}^{n} \det ( \partial_1 v, \dots, \partial_j \dot{v}, \dots, \partial_n v)= \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}(\partial_j \dot{v_{i}})C_{ij}$$
$$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(\partial_j \dot{v_{i}})C_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\partial_j (\dot{v_{i}}C_{ij})= \sum_{i=1}^{n} \textrm{div}(\dot{v_{i}C_i)).}$$

Was passiert beim dritten und vierten Gleichheitszeichen? Ich weiß, dass ich folgendes Resultat nutzen muss, aber wo:

 $$ \sum_{j=1}^{n} \partial_j C_{ij}(x)=0  \enspace \textrm{für} \enspace x\in D  \enspace \textrm{und}  \enspace i=1, \dots,n. $$
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Drittes Gleichheitszeichen: Summationsreihenfolge vertauscht

Viertes Gleichheitszeichen: Mit der Produktregel folgt

$$\sum_{j=1}^n \partial_j (v_i C_{ij})=\sum_{j=1}^n (\partial_j v_i) C_{ij}+\sum_{j=1}^n v_i \partial_j C_{ij}=\sum_{j=1}^n (\partial_j v_i) C_{ij}+ v_i \underbrace{\sum_{j=1}^n\partial_j C_{ij}}_{=0}. $$
Jetzt alles noch über $i$ summieren und du bist fertig.

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