Beweis für eine periodische Dezimaldarstellung

Aufrufe: 385     Aktiv: 21.12.2019 um 16:04

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Ich soll beweisen, dass der Bruch a/b eine periodsiche Darstellung hat, wenn der Nenner b zur Basis 10 teilerfremd ist. Also der Nenner b nicht die PZ 2 oder 5 in der PFZ enthält... 

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Hallo,

es gibt für einen Bruch nur zwei Möglichkeiten: Entweder er bricht ab, oder er ist periodisch. Falls er abbricht, dann lässt er sich so schreiben, dass im Index eine Zehnerpotenz steht. Also zum Beispiel bei \(0.123\) kannst du \(\frac{123}{1000}\) schreiben. Egal wie du den Bruch kürzt, es wird immer eine \(2\) oder eine \(5\) im Nenner stehen bleiben, es sei denn du hast sogar eine ganze Zahl, also keine echten Nachkommastellen. Diesen Fall musst du ausschließen (siehe Gegenbeispiel weiter unten). Das heißt es gilt die Implikation:

$$\text{keine periodische Darstellung}\quad\Rightarrow\quad\text{bricht ab}\quad\Rightarrow\quad \text{Nenner enthält 2 oder 5}$$

Die Kontraposition dazu ist:

$$\text{Nenner ist zu 5 und 2 teilerfremd}\quad\Rightarrow\quad\text{der Bruch bricht nicht ab}\quad\Rightarrow\quad\text{periodische Darstellung}$$

Du musst aber den Trivialfall ausschließen, dass es eine ganze Zahl ist, sonst gilt zum Beispiel:

$$\frac{3}{3}\ \text{(Nenner ist zu 5 und 2 teilerfremd})\quad\Rightarrow\quad\frac{3}{3}=1\ (\text{Bruch bricht ab)}\quad\Rightarrow\quad\text{keine periodische Darstellung}$$

Ich hoffe das hilft dir weiter! :)

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