Abbilden von Elementen

Aufrufe: 50     Aktiv: 07.07.2021 um 09:20

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Aufgabenstellung: Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und ϕ: V → V eine K-lineare Abbildung. Beweisen Sie oder widerlegen Sie, dass das neutrale Element der Addition der Definitionsmenge auf das neutrale Element der Addition der Zielmenge abgebildet wird.
 
Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

Meiner Meinung nach müsst die Lösung nein lauten, allerdings fällt mir kein passendes Beispiel ein, weshalb ich verwirrt bin/ war.

Vielen Dank.
 
 
 
 
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Das ist selbstverständlich war, da eine derartige Abbildung strukturerhaltend ist, das macht sie ja auch so spannend. Es gilt \(\Phi(0)=\Phi(0\cdot a)=0\cdot \Phi(a)=0\).
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Student, Punkte: 4.07K

 

Vielen Dank, könntest du mir das vielleicht etwas genauer erklären?   ─   dieeinzigwahre 07.07.2021 um 08:25

Wegen der Distributivität gilt \(0\cdot a =0\), also ist \(\Phi(0)=\Phi(0\cdot a)\). Jetzt nutzt du die Linearität aus und ziehst eine \(0\) raus. Dann hast du \(0\cdot \Phi(a)\). Nach dem ersten Argument ist dies wiederum \(0\).   ─   mathejean 07.07.2021 um 09:20

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