Divergenz und Unbeschränktheit

Aufrufe: 116     Aktiv: 10.03.2024 um 00:45

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Hallo,
ich habe hier einen Beweis und wollte fragen, ob ich das richtig gemacht habe. Danke im voraus.

Satz:
Sei M Teilmenge R (Reele Zahlen) eine nicht-leere Teilmenge. 
Zeige: Es gilt folgende Äquivalenz:
M ist nach oben unbeschränkt <=> Es gibt eine Folge (x_n) in M, mit lim x_n = unendlich.

Beweis. Zuerst einmal: * steht für die Negation der darauffolgenden Aussage!

Richtung => :
Angenommen M ist nach oben unbeschränkt, also gilt: *(Es gibt ein k > 0 mit k > m für alle m aus M).  s.o. * steht für die Negation der Aussage. 
Sei (x_n) in M eine hinreichend gewählte Folge. So gilt auch *(Es gibt ein k > 0 mit k > x_n für alle natürlichen Zahlen n).
Damit sei k > 0 also beliebig, so gibt es ein N aus den natürlichen Zahlen, sodass für die darauffolgenden n: x_n > k gilt. Nach Definition divergiert also (x_n).

Richtung <= :
Angenommen es gibt eine hinreichende Folge (x_n) in M mit lim x_n = unendlich. Sei k > 0 beliebig, so gibt es eine natürliche Zahl N, sodass für die n > N: x_n > k gilt, da (x_n) bestimmt divergiert. Definiere die Gliedermenge M_n := {x_n | n natürliche Zahl}. M_n ist eine Teilmenge von M und nach oben unbeschränkt, da für alle k > 0 ein N aus den natürlichen Zahlen existiert mit x_n > k. D.h. es gibt kein sup(M_n) aus M_n Teilmenge M. Damit ist auch M nach oben unbeschränkt.

LG,
Timm
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Ich würde mich, falls es Fehler gibt, auf eine Alternative freuen :)   ─   tanjaj 09.03.2024 um 01:21
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Dein Beweis etwas verworren aufgeschrieben und in einem Punkt falsch.

Das Wort "Angenommen" verwendet man meist, um eine Annahme zu treffen, also um einen Widerspruchsbeweis einzuletten. Du aber verwendet es für die Voraussetzung. Besser z.B. so formulieren: "Sei M nach oben unbeschränkt".

"Hinreichende" Folgen gibt es nicht. Hier musst Du schon aufschreiben, WELCHE Eigenschaften die x_n erfüllen sollen.
Dazu kann zunächst Deine Negation
     *(Es gibt ein k > 0 mit k > x_n für alle m aus M)
umformen: bei Negation wird aus "Es gibt" ein "Für alle" und umgekehrt, und aus ">" wird "\(\le\)", also hat man:
     Für alle k > 0 gibt es ein m in M mit \(k \le m\)
Nun kann man die x_n wie folgt "in die Höhe" zwingen: Da der Folgenindex n bei 1 losläuft, gilt n>0, d.h.
     Für alle n > 0 gibt es ein m in M mit \(n \le m\)
Und dieses m, was es da gibt, nehme ich als x_n.
Also hieße die Formulierung:
   Für alle n > 0 gibt es ein x_n in M mit \(n \le x_n\)
Damit ist eine passende Folge x_n festgelegt.

Der Satz "Damit sei k>0 also beliebig" ist unglücklich. Besser ist: "Sei k >0 beliebig".

Nun musst Du das archimedische Axiom ins Spiel bringen. Nach dem archimedische Axiom gibt ein \(N\in\mathbb{N}\), so dass \(1\cdot N>k\).
Dann gilt für alle \(n>N\): \(x_n\ge n>N>k\). Damit ist bewiesen, dass \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n=\infty\).

Den Halbsatz "da (x_n) bestimmt divergiert" kannst Du ersatzlos streichen.

Bei der "<="-Richtung brauchst Du die Gliedermenge M_n nicht. Du hast ja schon gezeigt:
   Für alle n>N gilt \(x_n>k\).
Also gilt \(x_{N+1}>k\).
Setze nun \(m=x_{N+1} \). Damit hast Du ein \(m\in M\) gefunden mit m>k, und Du bist fertig.

Ferner sollte die Bedingung "k>0" besser durch \(k \in \mathbb{R}\) ersetzen werden - das entspricht eher der Definition von Beschränktheit.
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Ist denn bei <= die Idee mit der Gliedermenge nicht richtig?   ─   tanjaj 09.03.2024 um 23:11

Achso noch eine Frage zu => hätte ich. Würde auch dieser Ansatz gehen? :

Angenommen es gibt keine Folge (x_n) in M mit lim x_n = unendlich (Negation der Aussage, die lautet: Es gibt eine Folge in M die divergiert). Diese Negation kann man also auch umformulieren in: Jede Folge in M, darf nicht divergieren.
D.h. Sei (x_n) in M beliebig, so darf nach Annahme (x_n) nicht divergieren, d.h. wegen dem Satz (Eine Folge ist unbeschränkt, so ist sie auch divergent) der Kontroposition, ist also dann (x_n) dann auch nicht unbeschränkt. D.h. es gibt ein k > 0 mit x_n < k für jedes n. Da das somit für jede Folge in M gilt, also für alle x_n aus M: x_n < k ist, wäre k eine obere Schranke von M. Damit haben wir den Widerspruch, da M nach oben unbeschränkt sein soll.

  ─   tanjaj 09.03.2024 um 23:32

Die Idee mit der Gliedermenge ist durchaus richtig, aber ein wenig umständlich.

"Divergieren" und "gegen unendlich konvergieren" ist zweierlei. Die Folge 0,1,0,1,0,1,... ist divergent, konvergiert aber nicht gegen unendlich.

Dein neuer Beweis für die "=>"-Richtung funktioniert leider nicht. Denn das k hängt von der Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ab. Wenn ich eine Menge von beschränkten Folgen habe, so kann die Vereinigung aller dieser Folgen unbeschränkt sein.
  ─   m.simon.539 10.03.2024 um 00:45

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