Hallo,
ich habe hier einen Beweis und wollte fragen, ob ich das richtig gemacht habe. Danke im voraus.

Satz:
Sei M Teilmenge R (Reele Zahlen) eine nicht-leere Teilmenge. 
Zeige: Es gilt folgende Äquivalenz:
M ist nach oben unbeschränkt <=> Es gibt eine Folge (x_n) in M, mit lim x_n = unendlich.

Beweis. Zuerst einmal: * steht für die Negation der darauffolgenden Aussage!

Richtung => :
Angenommen M ist nach oben unbeschränkt, also gilt: *(Es gibt ein k > 0 mit k > m für alle m aus M).  s.o. * steht für die Negation der Aussage. 
Sei (x_n) in M eine hinreichend gewählte Folge. So gilt auch *(Es gibt ein k > 0 mit k > x_n für alle natürlichen Zahlen n).
Damit sei k > 0 also beliebig, so gibt es ein N aus den natürlichen Zahlen, sodass für die darauffolgenden n: x_n > k gilt. Nach Definition divergiert also (x_n).

Richtung <= :
Angenommen es gibt eine hinreichende Folge (x_n) in M mit lim x_n = unendlich. Sei k > 0 beliebig, so gibt es eine natürliche Zahl N, sodass für die n > N: x_n > k gilt, da (x_n) bestimmt divergiert. Definiere die Gliedermenge M_n := {x_n | n natürliche Zahl}. M_n ist eine Teilmenge von M und nach oben unbeschränkt, da für alle k > 0 ein N aus den natürlichen Zahlen existiert mit x_n > k. D.h. es gibt kein sup(M_n) aus M_n Teilmenge M. Damit ist auch M nach oben unbeschränkt.

LG,
Timm