Zeigen dass Vektoren Erzeugendensystem eines Vektorraums bilden

Aufrufe: 1865     Aktiv: 17.03.2019 um 20:21
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Noch eine Frage:
Wenn ich zeigen soll dass 3 Vektoren {p1,p2,p3} ein Erzeugendensystem bspw. des R^3 bilden, wie ginge ich da am Besten vor?

Ich hätte da jetzt angesetzt dass ich sage:
Sei a=(a1,a2,a3) ein beliebiger Vektor aus R^3.

dann bestimme ich b1,b2,b3 aus R so dass
(a1,a2,a3)=b1*p1+b2*p2+b3*p3

So würde ich es zumindest machen wenn wir statt nem Erzeugendensystem ne Basis hätten.
Dann wäre (b1,b2,b3) die Darstellung des Vektors (a1,a2,a3) in der neuen Basis.

Lösen würde ich das konkret über Gaußverfahren, d.h. Lösen der Matrix
( p1 p2 p3 | a)


Ergebnis ist dann eben (b1,b2,b3).

Damit hätte ich dann die erforderlichen Vielfachen der ES-Vektoren in Abhängigkeit vom Ursprungsvektor A bestimmt.
d.h. ich habe b1(a1,a2,a3), b2(a1,a2,a3), b3(a1,a2,a3) bestimmt.

Falls da dann nicht gerade ne Division durch 0 vorkommt, müsste ich eigentlich gezeigt haben dass sich ausgehend von einem beliebigen Vektor (a1,a2,a3) aus R^3 die zugehörigen Faktoren b1,b2,b3 finden lassen mit denen sich der Vektor durch das Erzeugendensystem bilden lässt.

 

oder sehe ich das falsch?

 

oder gibt es da eine ganz andere variante, wie man das lösen kannl die wesentlich einfacher ist?

 

 

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Ich schreib keine Antwort, weil ich schon bisschen was getrunken hab, aber wenn du n Vektoren hast und zeigen sollst, dass die ne Basis vom n-dimensionalen Raum bilden, dann reicht doch deren lineare Unabhängigkeit zu zeigen.

   ─   jojoliese 18.03.2019 um 01:46

Weil die Dimension hatten wir ja als die kleinste Kardinalität der möglichen Basen (also unabhangiges Erzeugendensystem) definiert. 

   ─   jojoliese 18.03.2019 um 01:48
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Ich gebe @Jojoliese recht, in dem Fall weißt du ja, dass drei linear unabhängige Vektoren im R^3 immer Erzeugendensystem und damit Basis bilden, also würde ich die Vektoren auf lineare unabhängigkeit überprüfen.

Im Grunde läuft es aber auf das gleiche hinaus was du dort machst.

Ist dies nicht so eindeutig, bietet es sich an die Dimension der Linearen Hülle des Erzeugendensystems zu bestimmen und mit der Dimension des Vektorraums zu vergleichen.

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