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Fünfeck-Problem: Seitenlängen herausfinden

Aufrufe: 254 Aktiv: 01.08.2026 um 00:10

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Ein unregelmäßiges Fünfeck mit den Seitenlängen a, b, c, d und e soll einen Flächeninhalt von nahezu 1567600 FE besitzen. Die Eckpunkte des Fünfecks liegen alle auf einem Kreis, dessen Radius nahezu bei 880 LE liegt. („nahezu“ bedeutet hier, dass die Abweichungen < 2 sind!) - Die Seitenlängen sind alle ganzzahlig und unterschiedlich, liegen also im Intervall [1,1763]. Welche Seitenlängen ergeben sich, wenn dann noch folgende Bedingung gegeben ist?

$b^5+c^5+d^5+10/3*[b*e/(b+2*c+e)+2a]^4+[(a+b-c-10)*(c+d-9a)]^2=e^5$

Allgemeine Frage: Ist es hier überhaupt möglich, einen einfallsreichen Suchalgorithmus zu finden, der so reduziert ist, dass man mit vertretbarer Rechenzeit (z.B. max. 6 Stunden) zu den Lösungen kommt?

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gefragt 27.07.2026 um 12:08

user4145c5
Punkte: 15

Um den Bereich etwas einschränken zu können, hätte man eventuell folgende Möglichkeiten. Wenn man davon ausgeht, dass unter allen zyklischen Fünfecken mit festem Umkreisradius das regelmäßige Fünfeck (mit gefordertem max. Flächeninhalt) den größtmöglichen Umfang besitzt und ein gleichseitiges Dreieck (dessen Fläche definitiv kleiner ist!) den kleinstmöglichen Umfang darstellt, dann hätte man:

4562 < a+b+c+d+e < 5184

Für die längste Seite e würde das dann bedeuten, dass diese größer als die Seitenlänge bei einem regelmäßigen Fünfeck sein müsste. Andererseits kann die Seite e eine bestimmte maximale Länge nicht übertreffen, weil dann der geforderte Flächeninhalt nicht mehr erreicht werden kann. Diese Grenzen liegen bei:

1032 < e < 1631

Und somit gilt für die restlichen Seiten:

2932 < a+b+c+d < 4151

Damit schränkt man zwar geringfügig ein, aber die benötigte Rechenzeit wäre immer noch immens bzw. „endlos“ hoch, wenn dann nur stur durchprobiert würde.
─ user4145c5 28.07.2026 um 11:41

Sind denn die Seiten a,b,c,d,e im Kreis herum angeordnet?
Ich nehme an ja, aber explizit steht das nicht da.
Das ist deswegen wichtig, weil Deine Formel nicht invariant gegenüber Vertauschungen von a,b,c,d,e ist. ─ m.simon.539 28.07.2026 um 12:06

Man kann davon ausgehen, dass das Fünfeck konvex ist.

Denn andernfalls hätte man eine einspringende Ecke, die man überbrücken könnte, so dass ein Viereck mit größerem Flächeninhalt entstünde.
Das größtmögliche Viereck wäre dann ein Quadrat, bei dem der Abstand der Ecken zur Mitte 882 LEwäre.
Dann wäre die Kantenlänge $882 \sqrt{2}$ LE, und der Flächeninhalt wäre$(882 \sqrt{2})^2 = 1.555.848 < 1.567.600$, also zu klein. ─ m.simon.539 28.07.2026 um 12:40

Die Eckpunkte des Fünfeckes liegen exakt auf dem Kreisumfang, womit das Fünfeck auch konvex ist. Die Reihenfolge der Seiten a ... e sollte beim Fünfeck keine Rolle spielen. Es kann z.B. (a-b-c-d-e) oder auch (a-c-e-b-d) etc. sein, weil ja (egal bei welcher Reihenfolge) die Fünfeck-Fläche konstant bleibt. ─ user4145c5 28.07.2026 um 13:02

Man sollte hier das Backtracking verwenden, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Backtracking

Man hat ein rekursives Unterprogramm, welches als Input ein Array a hat, welches Kantenlängen enthält.
Diese Kantenlängen sind die Längen von EINEM TEIL der Kanten des Fünfecks.
Das Array hat also max. die Länge 5.

Dann prüft man, ob man mit diesen Kantenlängen noch den vorgeschriebenen Flächeninhalt von 1567600 FE erreichen kann (s.u.)
Wenn nicht, dann wird das Unterprogramm beendet.
Wenn ja, so wird die nächste Kante hinzugefügt:

Für k=1 to 1763:
- Kopiere a => b
- Hänge k an b an.
- Rekursiver Aufruf mit aplus statt a

Wenn das Array die Länge 4 hat, dann muss man anders verfahren: Keine Rekursion, statt dessen ermitteln der Länge der Kante e mit Hilfe der in der Aufgabenstellung genannten Formel.
Wenn es kein solches e gibt => Unterpürogramm beenden.
Andernfalls Array um e erweitern und rekursiver Aufruf.
Dann hat man nur einen rekursiven Aufruf statt 1763.

Wenn das Array die Länge 5 hat, dann muss man anders verfahren: Keine Rekursion, statt dessen prüfen,
- ob die Fläche 1.567.000 EXAKT erreicht werden kann
- ob man sich bei gegeben Längen ein geschlossenes Fünfeck hinbekommt.

Prüfen den Flächeninhalts:
Wenn ein Array von Kanten gegeben ist, dann kann man zu jeder Kantenlänge k den
- max. möglichen Flächeninhalt
- kleinstmöglicher Innenwinkel im Kreismittelpunkt

eines Dreiecks mit folgenden Eigenschaften ausrechnen:
- Dreieck hat eine Ecke im Kreismittelpunkt
- Länge der Kante, welcher dem Kreismittelpunkt gegenüber liegt, ist k

Das berechnet man für alle Kantenlängen im Array, summiert die Flächen und erhält $A_1$.
Das berechnet man für alle Kantenlängen im Array , summiert die Winkel und erhält $\phi$.

Die verbleibenden Kantenlängen können dann höchstens das Kreissegment mit der $A_2 = 882^2 (2\pi-\phi$\) abdecken.

Dann muss $A_1+A_2 \ge 1567000$ sein.

Man sollte hier das Backtracking verwenden, siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Backtracking

Man hat ein rekursives Unterprogramm, welches als Input ein Array a hat, welches Kantenlängen enthält. 
Diese Kantenlängen sind die Längen von EINEM TEIL der Kanten des Fünfecks. 
Das Array hat also max. die Länge 5.

Dann prüft man, ob man mit diesen Kantenlängen noch den vorgeschriebenen Flächeninhalt von 1567600 FE erreichen kann (s.u.)
Wenn nicht, dann wird das Unterprogramm beendet.
Wenn ja, so wird die nächste Kante hinzugefügt:

Für k=1 to 1763:
-  Kopiere a => b
-  Hänge k an b an.
- Rekursiver Aufruf mit aplus statt a

Wenn das Array die Länge 4 hat, dann muss man anders verfahren: Keine Rekursion, statt dessen ermitteln der Länge der Kante e mit Hilfe der in der Aufgabenstellung genannten Formel.
Wenn es kein solches e gibt => Unterpürogramm beenden.
Andernfalls Array um e erweitern und rekursiver Aufruf.
Dann hat man nur einen rekursiven Aufruf statt 1763.

Wenn das Array die Länge 5 hat, dann muss man anders verfahren: Keine Rekursion, statt dessen prüfen, 
- ob die Fläche 1.567.000 EXAKT erreicht werden kann
- ob man sich bei gegeben Längen ein geschlossenes Fünfeck hinbekommt.

Prüfen den Flächeninhalts:
Wenn ein Array von Kanten gegeben ist, dann kann man zu jeder Kantenlänge k den 
- max. möglichen Flächeninhalt 
- kleinstmöglicher Innenwinkel im Kreismittelpunkt

eines Dreiecks mit folgenden Eigenschaften ausrechnen:
- Dreieck hat eine Ecke im Kreismittelpunkt
- Länge der Kante, welcher dem Kreismittelpunkt gegenüber liegt, ist k

Das berechnet man für alle Kantenlängen im Array, summiert die Flächen und erhält $A_1$.
Das berechnet man für alle Kantenlängen im Array , summiert die Winkel und erhält $\phi$.

Die verbleibenden Kantenlängen können dann höchstens das Kreissegment mit der  $A_2 = 882^2 (2\pi-\phi$\) abdecken.

Dann muss $A_1+A_2 \ge 1567000$ sein.

─ m.simon.539 28.07.2026 um 13:12

Vielen Dank für die Strategie per „Backtracking“ und die weitreichenden Erklärungen dazu!!! - Ansonsten wäre ich so vorgegangen, dass ich mit der Variablen e starte und dieses im Bereich 1032 < e < 1631 (erste Schleife). Dann nehme ich die nächste Variable (z.B. d mit d < e) und prüfe, in welchem Bereich diese angesiedelt werden kann, damit die geforderte Fläche nicht überschritten wird. Innerhalb der Schleife vom d-Intervall gehe ich dann zur nächsten Variable über (z.B. c mit c < e) und prüfe wieder, dass die Fläche nicht überschritten wird, etc. … Die letzte (5.) Variable ergibt sich letztendlich dann daraus, dass die Sektorenwinkel in Summe zusammen 2*pi (= 360 Winkelgrad) ergeben müssen, also das Fünfeck sich schließen muss. ─ user4145c5 28.07.2026 um 13:39

Das geht auch! Man muss dann nur beachten, dass dann Dein e (also die längste Seite) nicht unbedingt dasselbe ist wie in der Formel in der Aufgabenstellung. ─ m.simon.539 28.07.2026 um 15:20

Stimmt!!! Entweder ist e die längste Seite oder aber a mit e als zweitgrößte Seite. Das würde dann auf zwei Suchroutinen hinauslaufen.
Wenn e am größten ist, dann ist die Schleifen-Reihenfolge z.B. e=>d=>c=>b=>a.
Wenn a am größten ist, dann ist die Schleifen-Reihenfolge z.B. a=>e=>d=>c=>b. ─ user4145c5 28.07.2026 um 16:04

Für den Fall 2, dass a die größte Seite wäre, hätte man folgende Start-Bereiche für die Variablen a und e:
$1032 < a < 1631$
und aus der Ausgangsgleichung folgt:
$10/3*(2a)^4 < e^5 \Rightarrow 571 < e < a$
sowie $e > b$ , $e > c $ und $e > d.$
Die Frage ist nur, ob die Rechenzeit allein damit ausreichend reduziert wird. (?)
─ user4145c5 28.07.2026 um 19:01

Wie Du jetzt auf "$e < a$" kommst, ist mir schleierhaft.

Ja, die Rechenzeit wird leider enorm sein.

Vielleicht kann man noch folgendes ausnutzen: e ist eine ganze Zahl, also auch $e^5$, also auch die linke Seite der Gleichung in der Aufgabe.
Also muss $10/3[be/(b+2c+e)+2a]^4$ ganz sein.
Also muss $be/(b+2c+e)+2a$ durch 3 teilbar sein.
Das schränkt die möglichen Quadrupel (a,b,c,d) etwas ein. ─ m.simon.539 29.07.2026 um 14:47

Für den 2. Fall (wenn a am größten wäre) hätte ich noch eine weitere Einschränkung von e.

wenn gilt:
$ 2932 < a+b+c+e < 4151 $
dann gilt auch:
$ 2932 < a+b+c+e < 4e $
also $ 2932 < 4e $

und das würde bedeuten, dass $ 734 < e < a $ sein müsste, mit $ 1032 < a < 1631 $. ─ user4145c5 29.07.2026 um 17:08

6 Stunden ist eine gute Schätzung.
Ich habe ein C++-Programm geschrieben, dass alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung in der Aufgabe ausgibt, mit $1\leq a,b,c,d,e\leq 1763$.
Das läuft seit 1,5 h und ist jetzt bei e=1200 und hat noch keine einzige Lösung gefunden.
Besagte Gleichung hat anscheined nicht viele Lösungen. ─ m.simon.539 30.07.2026 um 01:11

Das C++-Programm ist fertig und hat erfreulicherweise nur eine einzige Lösung ausgespuckt:

$a=270, b=840, c=1100, d=1330, e=1440.$

Jetzt muss man "nur" noch zeigen, dass man aus diesen Kantenlängen ein Fünfeck wie in der Aufgabe beschrieben formen kann. ─ m.simon.539 30.07.2026 um 12:24

Dann hat das Programm doch ein wenig länger als die „6 Stunden“ benötigt (?), was aber in Anbetracht der eindeutig gefundenen Lösung eher sekundär sein sollte. Super! So eine Routine habe ich (mit meinem alten und langsamen Rechner) noch nicht fertiggebracht. Bei mir hätte er hochgerechnet etwa 1/2 Jahr benötigt, um was Brauchbares zu zeigen. – Mit den jetzigen Lösungswerten reduziert sich dann die Ausgangsgleichung auf die Form:

$ (10b^*)^5+(10c^*)^5+(10d^*)^5+(10a^*)^5+0=(10e^*)^5 $

wobei $ a^*, b^*, c^*, d^* $ und $e^*$ ebenfalls alle ganzzahlig sind (alle Seitenlängen a ... e geteilt durch 10).

also: $ (a^*)^5+(b^*)^5+(c^*)^5+(d^*)^5=(e^*)^5 $

Ich grüble aber noch ein wenig darüber nach, wie man den Such-Raum einzelner Variablen vielleicht weiter einschränken könnte, sodass man am Ende eine wesentliche Zeitersparnis herausholen kann.

Vielen Dank für die Überprüfung mit dem C++-Programm!!!

Das Lösungs-Fünfeck kann bzgl. Fläche und Radius bestätigt werden, mit:

Fläche A = 1567600.2943658 FE
Radius r = 880.0088117457 LE

Dann hat das Programm doch ein wenig länger als die „6 Stunden“ benötigt (?), was aber in Anbetracht der eindeutig gefundenen Lösung eher sekundär sein sollte. Super! So eine Routine habe ich (mit meinem alten und langsamen Rechner) noch nicht fertiggebracht. Bei mir hätte er hochgerechnet etwa 1/2 Jahr benötigt, um was Brauchbares zu zeigen. – Mit den jetzigen Lösungswerten reduziert sich dann die Ausgangsgleichung auf die Form:

$ (10b^*)^5+(10c^*)^5+(10d^*)^5+(10a^*)^5+0=(10e^*)^5  $

wobei $ a^*, b^*, c^*, d^* $ und $e^*$ ebenfalls alle ganzzahlig sind (alle Seitenlängen a ...  e geteilt durch 10).

also: $ (a^*)^5+(b^*)^5+(c^*)^5+(d^*)^5=(e^*)^5  $

Ich grüble aber noch ein wenig darüber nach, wie man den Such-Raum einzelner Variablen vielleicht weiter einschränken könnte, sodass man am Ende eine wesentliche Zeitersparnis herausholen kann.

Vielen Dank für die Überprüfung mit dem C++-Programm!!!

Das Lösungs-Fünfeck kann bzgl. Fläche und Radius bestätigt werden, mit:

Fläche  A = 1567600.2943658  FE
Radius  r = 880.0088117457  LE

─ user4145c5 30.07.2026 um 13:05

Super!

Das Programm brauchte nur 40 min. und arbeitete mit einer Art Backtracking.
Es führte die Variablen in folgender Reihenfolge ein: e, b, c, a, d.
Nach Einführung einer Variable wurde geprüft, ob die Gleichung gelten kann.
Zum Rechnen habe ich einen Typ "unsigned long long" verwendet. Der hat 64 Bit und reicht gerade so, und das Rechnen damit ist bei einem 64-bit-Rechner sehr schnell, weil die Hardware das direkt kann. ─ m.simon.539 30.07.2026 um 15:22

Wow! 40 min!!!

Ich denke, ich habe eine Möglichkeit gefunden, eine Voranalyse vorzuschalten, um den Such-Raum für den nachgeschalteten Prüf-Algorithmus effektiv einzuschränken. Dabei gehen wir natürlich davon aus, dass wir die Lösung noch nicht kennen und auch keine Kenntnis darüber haben, ob e>a oder a>e ist.

Die Ausgangsgleichung lässt sich umformen in einen Quotienten Q:

$ Q=\left[b^5+c^5+d^5+\frac{10}{3} \left[b\cdot e / (b+2c+e)+2a \right]^4 +\left[\left(a+b-c-10\right)\left(c+d-9a\right) \right]^2\right] \cdot e^{-5}
$

Der Quotient wird kleiner als 1, wenn zu e ein Sprungwert $ \Delta $ addiert wird und bei den anderen Seiten a … d der Sprungwert $ \Delta $ subtrahiert wird.
Der Quotient wird größer als 1, wenn zu e ein Sprungwert $ \Delta $ subtrahiert wird und bei den anderen Seiten a … d der Sprungwert $ \Delta $ addiert wird.

Als nächsten Schritt betrachten wir ein „reduziertes Problem“ bei dem die Ausgangsgleichung nicht mehr überprüft wird (denn sie gilt dann nicht mehr unbedingt!!!), sondern es werden die Quotienten kontrolliert, womit ein Filter erzeugt wird. Die Quotienten müssen immer so ausfallen, dass einer davon kleiner als 1 ist und der andere größer als 1 zu sein hat. Damit kommen wir jetzt zum „reduzierten Problem“: Man stelle sich einfach vor, das Fünfeck und der Kreis würden um den Faktor 10 herunterskaliert, dann müssten alle Seitenlängen und der Radius um denselben Faktor kleiner sein. Die Fläche ist dann entsprechend um den Faktor 100 kleiner.

A = 15676 und r = 88

Wenn man bei diesem „reduzierten Problem“ nun wieder mit ganzzahligen Seitenlängen operiert und alle in Einer-Schritten durchprobiert, dann würde das beim ursprünglichen Ausgangsproblem einem Seitenlängensprung von 10 entsprechen. Vorteil beim „reduzierten Problem“ (vorerst als reine Voranalyse!): Für jede Variable müsste 1/10 der Werte geprüft werden, was bei 5 Variablen eine Reduktion um den Faktor $ 10^5 $ bedeuten würde. Dieser Check sollte nicht allzu lange dauern.

Dazu muss zuerst die Quotienten-Gleichung herunterskaliert werden:
$ 10a^*=a $
$ 10b^*=b $
$ 10c^*=c $
$ 10d^*=d $
$ 10e^*=e $
[Wie man sieht, würde das bei der gefunden Lösung sogar passen, um wieder ganzzahlige Werte zu bekommen. Aber diese Lösung kennen wir jedoch noch nicht!]

$ Q= \left[10^5\cdot \left(b^{*5}+c^{*5}+d^{*5}\right) +\frac{10}{3} \left[\left(b^*e^*/(b^*+2c^*+e^*)+2a^*\right)\cdot 10 \right]^4 +\left[\left(a^*+b^*-c^*-1\right)\cdot 10\cdot \left(c^*+d^*-9a^*\right)\cdot 10 \right]^2\right] \cdot 10^{-5}\cdot e^{*-5} $

$ Q=\left[\left(b^{*5}+c^{*5}+d^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b^*e^*/(b^*+2c^*+e^*)+2a^*\right) \right]^4 +10\cdot \left[\left(a^*+b^*-c^*-1\right)\cdot \left(c^*+d^*-9a^*\right) \right]^2\right] \cdot e^{*-5} $

$ Q_{inf}=\left[\left(b_-^{*5}+c_-^{*5}+d_-^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b_-^*e_+^*/(b_-^*+2c_-^*+e_+^*)+2a_-^*\right) \right]^4 +10\cdot \left[\left(a_-^*+b_-^*-c_-^*-1\right)\cdot \left(c_-^*+d_-^*-9a_-^*\right) \right]^2\right] \cdot e_+^{*-5} <1 $

$ Q_{sup}=\left[\left(b_+^{*5}+c_+^{*5}+d_+^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b_+^*e_-^*/(b_+^*+2c_+^*+e_-^*)+2a_+^*\right) \right]^4 +10\cdot \left[\left(a_+^*+b_+^*-c_+^*-1\right)\cdot \left(c_+^*+d_+^*-9a_+^*\right) \right]^2\right] \cdot e_-^{*-5} >1 $

mit: $ a_-^*=a^*-1 $ … $ e_-^*=e^*-1 $ und $ a_+^*=a^*+1 $ … $ e_+^*=e^*+1 $

Wenn man nun die Voranalyse in Angriff nimmt, dann werden folgende bekannte Filter aktiv:
1) Flächenfilter der Gesamtfläche mit einem rel. Fehler von +/- 1% von A=15676
2) Winkelsektorenfilter mit einem rel. Fehler von +/- 1% vom Gesamtwinkel (Kreis) = 2*pi,
=> damit auch keine „Pentagramm“-Gebilde statt konvexe Fünfecke erzeugt werden.
3) Quotienten-Filter: Es muss $ Q_{inf}<1$ und $Q_{sup}>1$ sein
Alle drei Filter sind als Bedingung über „AND“ verknüpft.

Jetzt kann man sich beliebige Aussagen definieren und deren Min/Max-Bereiche bestimmen.
z.B. die Summe $ S^*_{ae-min}<(a^*+b^*+c^*+d^*+e^*)< S^*_{ae-max} $ oder die Seitenlänge von $ e^* $ allein.

Das wird nun beim nachgeschalteten Such-Algorithmus bzgl. des ursprünglichen Problems auf die dortigen relevanten Bereiche umgerechnet. Hierbei kann man sagen, dass sich bei einem zyklischen Fünfeck maximal 4 Seiten in Plus- oder Minusrichtung (mit dem jeweiligen Sprungwert 10) verändern können.

$ S_{ae-min}=10\cdot S^*_{ae-min}-4\cdot 10 < (a+b+c+d+e) $
$ S_{ae-max}=10\cdot S^*_{ae-max}+4\cdot 10 > (a+b+c+d+e) $
$ e_{min}=10\cdot e^*_{min}-10 $
$ e_{max}=10\cdot e^*_{max}+10 $

Das wäre mein Vorschlag, um die Such-Bereiche im Vorwege kleinzuhalten. Ich glaube, dann könnte man vielleicht noch mehr an Zeit einsparen. Falls meine Voranalyse stimmen sollte (?), dann ergeben sich folgende Werte:

$ e_{min}= 1310 $
$ e_{max}= 1510 $
$ S_{ae-min}=4920 $
$ S_{ae-max}=5030 $
bei einem Quotienten-Bereich: $ 0.83 < Q < 1.20 $

Wow! 40 min!!!

Ich denke, ich habe eine Möglichkeit gefunden, eine Voranalyse vorzuschalten, um den Such-Raum für den nachgeschalteten Prüf-Algorithmus effektiv einzuschränken. Dabei gehen wir natürlich davon aus, dass wir die Lösung noch nicht kennen und auch keine Kenntnis darüber haben, ob e>a oder a>e ist.

Die Ausgangsgleichung lässt sich umformen in einen Quotienten Q:

$ Q=\left[b^5+c^5+d^5+\frac{10}{3} \left[b\cdot e / (b+2c+e)+2a \right]^4 +\left[\left(a+b-c-10\right)\left(c+d-9a\right)  \right]^2\right]  \cdot  e^{-5} 
 $

Der Quotient wird kleiner als 1, wenn zu e ein Sprungwert $ \Delta $ addiert wird und bei den anderen Seiten a … d der Sprungwert $ \Delta $ subtrahiert wird.
Der Quotient wird größer als 1, wenn zu e ein Sprungwert $ \Delta $ subtrahiert wird und bei den anderen Seiten a … d der Sprungwert $ \Delta $ addiert wird.

Als nächsten Schritt betrachten wir ein „reduziertes Problem“ bei dem die Ausgangsgleichung nicht mehr überprüft wird (denn sie gilt dann nicht mehr unbedingt!!!), sondern es werden die Quotienten kontrolliert, womit ein Filter erzeugt wird. Die Quotienten müssen immer so ausfallen, dass einer davon kleiner als 1 ist und der andere größer als 1 zu sein hat. Damit kommen wir jetzt zum „reduzierten Problem“: Man stelle sich einfach vor, das Fünfeck und der Kreis würden um den Faktor 10 herunterskaliert, dann müssten alle Seitenlängen und der Radius um denselben Faktor kleiner sein. Die Fläche ist dann entsprechend um den Faktor 100 kleiner.

A = 15676    und    r = 88

Wenn man bei diesem „reduzierten Problem“ nun wieder mit ganzzahligen Seitenlängen operiert und alle in Einer-Schritten durchprobiert, dann würde das beim ursprünglichen Ausgangsproblem einem Seitenlängensprung von 10 entsprechen. Vorteil beim „reduzierten Problem“ (vorerst als reine Voranalyse!): Für jede Variable müsste 1/10 der Werte geprüft werden, was bei 5 Variablen eine Reduktion um den Faktor $ 10^5 $ bedeuten würde. Dieser Check sollte nicht allzu lange dauern.

Dazu muss zuerst die Quotienten-Gleichung herunterskaliert werden:
$ 10a^*=a $ 
$ 10b^*=b $   
$ 10c^*=c $   
$ 10d^*=d $   
$ 10e^*=e $   
[Wie man sieht, würde das bei der gefunden Lösung sogar passen, um wieder ganzzahlige Werte zu bekommen. Aber diese Lösung kennen wir jedoch noch nicht!]

$  Q= \left[10^5\cdot \left(b^{*5}+c^{*5}+d^{*5}\right) +\frac{10}{3} \left[\left(b^*e^*/(b^*+2c^*+e^*)+2a^*\right)\cdot 10  \right]^4 +\left[\left(a^*+b^*-c^*-1\right)\cdot 10\cdot \left(c^*+d^*-9a^*\right)\cdot 10  \right]^2\right] \cdot 10^{-5}\cdot e^{*-5} $

$ Q=\left[\left(b^{*5}+c^{*5}+d^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b^*e^*/(b^*+2c^*+e^*)+2a^*\right)  \right]^4 +10\cdot \left[\left(a^*+b^*-c^*-1\right)\cdot \left(c^*+d^*-9a^*\right)  \right]^2\right]   \cdot e^{*-5} $

$ Q_{inf}=\left[\left(b_-^{*5}+c_-^{*5}+d_-^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b_-^*e_+^*/(b_-^*+2c_-^*+e_+^*)+2a_-^*\right)  \right]^4 +10\cdot \left[\left(a_-^*+b_-^*-c_-^*-1\right)\cdot \left(c_-^*+d_-^*-9a_-^*\right)  \right]^2\right]  \cdot  e_+^{*-5} <1 $

$ Q_{sup}=\left[\left(b_+^{*5}+c_+^{*5}+d_+^{*5}\right) +\frac{1}{3} \left[\left(b_+^*e_-^*/(b_+^*+2c_+^*+e_-^*)+2a_+^*\right)  \right]^4 +10\cdot \left[\left(a_+^*+b_+^*-c_+^*-1\right)\cdot \left(c_+^*+d_+^*-9a_+^*\right)  \right]^2\right]   \cdot e_-^{*-5} >1  $

mit:  $ a_-^*=a^*-1 $  …  $ e_-^*=e^*-1 $   und   $ a_+^*=a^*+1 $  …  $ e_+^*=e^*+1 $

Wenn man nun die Voranalyse in Angriff nimmt, dann werden folgende bekannte Filter aktiv:
1) Flächenfilter der Gesamtfläche mit einem rel. Fehler von +/- 1% von A=15676
2) Winkelsektorenfilter mit einem rel. Fehler von +/- 1% vom Gesamtwinkel (Kreis) = 2*pi,
=> damit auch keine „Pentagramm“-Gebilde statt konvexe Fünfecke erzeugt werden.
3) Quotienten-Filter: Es muss $ Q_{inf}<1$ und $Q_{sup}>1$ sein
Alle drei Filter sind als Bedingung über „AND“ verknüpft.

Jetzt kann man sich beliebige Aussagen definieren und deren Min/Max-Bereiche bestimmen.
z.B.  die Summe $ S^*_{ae-min}<(a^*+b^*+c^*+d^*+e^*)< S^*_{ae-max} $  oder die Seitenlänge von $ e^* $ allein.

Das wird nun beim nachgeschalteten Such-Algorithmus bzgl. des ursprünglichen Problems auf die dortigen relevanten Bereiche umgerechnet. Hierbei kann man sagen, dass sich bei einem zyklischen Fünfeck maximal 4 Seiten in Plus- oder Minusrichtung (mit dem jeweiligen Sprungwert 10) verändern können.

$ S_{ae-min}=10\cdot S^*_{ae-min}-4\cdot 10 < (a+b+c+d+e) $
$ S_{ae-max}=10\cdot S^*_{ae-max}+4\cdot 10 > (a+b+c+d+e) $
$ e_{min}=10\cdot e^*_{min}-10 $
$ e_{max}=10\cdot e^*_{max}+10 $

Das wäre mein Vorschlag, um die Such-Bereiche im Vorwege kleinzuhalten. Ich glaube, dann könnte man vielleicht noch mehr an Zeit einsparen. Falls meine Voranalyse stimmen sollte (?), dann ergeben sich folgende Werte:

$ e_{min}= 1310 $
$ e_{max}= 1510 $
$ S_{ae-min}=4920 $
$ S_{ae-max}=5030 $
bei einem Quotienten-Bereich:  $ 0.83 < Q < 1.20 $

─ user4145c5 30.07.2026 um 17:28

Wenn Deine Voranalysen richtig sind, dann wird hierdurch der Algorithmus deutlich schneller.

─ m.simon.539 01.08.2026 um 00:10

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