(Twitter)
0
Hallo,
wirklich keine leichte Aufgabe. Überlege dir für die Lösung mal folgendes.
Du musst \( \frac {3\pi} 8 \) durch die \( 4 \) Brüche \( \frac{\pi} 6 , \frac {\pi} 4 , \frac {\pi} 3 \) und \( \frac {\pi} 2 \) darstellen. Was wäre der kgV der Brüche? Woran scheitert es, das wir den Bruch nicht darstellen können?
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Du darfst den Bruch \( \frac {3\pi} 8 \) nicht vergessen. Es gilt
$$kgV(2,3,4,6,8) = 24 $$
Bringen also mal alle Brüche auf den Nenner \( 24 \). ─ christian_strack 08.05.2020 um 14:38
$$kgV(2,3,4,6,8) = 24 $$
Bringen also mal alle Brüche auf den Nenner \( 24 \). ─ christian_strack 08.05.2020 um 14:38
Ok, dann habe ich (9Pi)/24 und (4Pi)/24 ; (6Pi)/24 ; (8Pi)/24 ; (12Pi)/24
─ floriang18 08.05.2020 um 15:00
─ floriang18 08.05.2020 um 15:00
Genau. Und warum funktioniert es jetzt nicht, aus den gegebenen Winkeln den Winkel \( \frac {9\pi} {24} \) zu erzeugen?
─
christian_strack
08.05.2020 um 15:04
Weil alle Zähler gerade sind?
─
floriang18
08.05.2020 um 16:09
Ja genau. So kommen wir zum ersten Hinweis. Es gilt
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = \sqrt{\sin^2( \frac {3\pi} 8)} = \sqrt{\sin^2(\frac {9\pi} {24})} = \sqrt{\sin^2(\frac 1 2 \cdot \frac {18\pi} {24} ) } $$
Wir müssen also nun noch
$$ x = \frac {18} {24} = \ldots $$
durch die oben besprochenen Brüche darstellen. Das funktioniert nun, da \( 18 \) gerade ist. Wie können wir das machen? Dann nutze den Hinweis
$$ \sin^2(\frac x 2) = \frac 1 2(1- \cos(x)) $$
Nun kannst du die Additionstheoreme nutzen. ─ christian_strack 08.05.2020 um 16:14
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = \sqrt{\sin^2( \frac {3\pi} 8)} = \sqrt{\sin^2(\frac {9\pi} {24})} = \sqrt{\sin^2(\frac 1 2 \cdot \frac {18\pi} {24} ) } $$
Wir müssen also nun noch
$$ x = \frac {18} {24} = \ldots $$
durch die oben besprochenen Brüche darstellen. Das funktioniert nun, da \( 18 \) gerade ist. Wie können wir das machen? Dann nutze den Hinweis
$$ \sin^2(\frac x 2) = \frac 1 2(1- \cos(x)) $$
Nun kannst du die Additionstheoreme nutzen. ─ christian_strack 08.05.2020 um 16:14
Wie schreibst du die Formeln so hin?
─ floriang18 08.05.2020 um 16:49
─ floriang18 08.05.2020 um 16:49
https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf Hier eine kleine Einführung
Wir nutzen Mathjax hier im Forum. Du kannst den Code zwischen\"( Code \") setzen im Fließtext oder $"$ Code $"$ um die Formel zu zentrieren (beides ohne ", habe ich nur gemacht weil sonst mathjax direkt angesprochen wird) ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:05
Wir nutzen Mathjax hier im Forum. Du kannst den Code zwischen\"( Code \") setzen im Fließtext oder $"$ Code $"$ um die Formel zu zentrieren (beides ohne ", habe ich nur gemacht weil sonst mathjax direkt angesprochen wird) ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:05
Ich habe jetzt den Hinweis genutzt: \(\sqrt{\frac {1} {2}*(1-cos\frac {18} {24})}\) aber wie wende ich da jetzt ein Additionstheorem an?
─
floriang18
08.05.2020 um 17:24
mit \sqrt{ ...} setzt du alles was in ... steht in die Wurzel (also alles was in den geschweiften Klammern ist) und \( \pi \) erhälst du durch \pi :)
Wir betrachten jetzt \( \cos(\frac {18\pi} {24}) \). Versuche jetzt mal wie vorhin \( \frac {18\pi} {24} \) durch die Brüche \( \frac {4\pi} {24}, \frac {6\pi} {24} , \frac {8\pi} {24} \) und \( \frac {12\pi} {24} \) darzustellen. ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:36
Wir betrachten jetzt \( \cos(\frac {18\pi} {24}) \). Versuche jetzt mal wie vorhin \( \frac {18\pi} {24} \) durch die Brüche \( \frac {4\pi} {24}, \frac {6\pi} {24} , \frac {8\pi} {24} \) und \( \frac {12\pi} {24} \) darzustellen. ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:36
\(\frac {12\pi} {24} + \frac {6\pi} {24} = \frac {18\pi} {24}\)
─ floriang18 08.05.2020 um 17:45
─ floriang18 08.05.2020 um 17:45
:p ach du hast es doch fast. Es ist nur nicht fraq sonder frac. Und am Ende muss noch ein \) hin. Dann müsste es klappen :)
Ja das ist doch schon mal gut. Wir haben jetzt
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = \sqrt{\frac 1 2(1- \cos(\frac {12\pi} {24} + \frac {6\pi} {24}))} $$
Nun gilt mit den Additionstheoremen
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) $$
Damit kannst du den Kosinus aufspalten in Sinus und Kosinus Terme, die du mit deiner Tabelle berechnen kannst. ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:55
Ja das ist doch schon mal gut. Wir haben jetzt
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = \sqrt{\frac 1 2(1- \cos(\frac {12\pi} {24} + \frac {6\pi} {24}))} $$
Nun gilt mit den Additionstheoremen
$$ \cos(a+b) = \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) $$
Damit kannst du den Kosinus aufspalten in Sinus und Kosinus Terme, die du mit deiner Tabelle berechnen kannst. ─ christian_strack 08.05.2020 um 17:55
\(cos \frac {\pi} {6} * cos \frac {\pi} {4} - sin \frac {\pi} {6} * sin \frac {\pi} {4}\)
entspricht dann \( \frac {\sqrt3} {2} * \frac {\sqrt2} {2} - \frac {1} {2} *\frac {\sqrt2} {2}\)
─ floriang18 08.05.2020 um 19:24
entspricht dann \( \frac {\sqrt3} {2} * \frac {\sqrt2} {2} - \frac {1} {2} *\frac {\sqrt2} {2}\)
─ floriang18 08.05.2020 um 19:24
Fast, es gilt
$$ \cos(\frac {12\pi} {24} + \frac {6\pi} {24}) = \cos(\frac {\pi} 2 + \frac {\pi} 4) = \cos(\frac {\pi} 2) \cdot \cos(\frac \pi 4) - \sin( \frac \pi 2) \cdot \sin( \frac \pi 6) $$
Was erhalten wir somit insgesammt?
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = ? $$ ─ christian_strack 09.05.2020 um 16:25
$$ \cos(\frac {12\pi} {24} + \frac {6\pi} {24}) = \cos(\frac {\pi} 2 + \frac {\pi} 4) = \cos(\frac {\pi} 2) \cdot \cos(\frac \pi 4) - \sin( \frac \pi 2) \cdot \sin( \frac \pi 6) $$
Was erhalten wir somit insgesammt?
$$ \sin( \frac {3\pi} 8) = ? $$ ─ christian_strack 09.05.2020 um 16:25
\(sin(\frac {3\pi} {8}) = -\frac {1} {2}\) stimmt nicht
ich komme nicht drauf sorry:( ─ floriang18 10.05.2020 um 16:07
ich komme nicht drauf sorry:( ─ floriang18 10.05.2020 um 16:07
Oh am Ende sollte natürlich ein \( \sin( \frac \pi 4 ) \) sein und nicht \( \sin( \frac \pi 6 ) \).
Wir erhalten also
$$ \cos( \frac {18\pi} {24} ) = 0 \cdot \frac {\sqrt{2}} 2 - 1 \cdot \frac {\sqrt{2}} 2 = - \frac {\sqrt{2}} 2 $$
Das müssen wir jetzt noch einsetzen
$$ \sin( \frac {3\pi} 8 ) = \sqrt{ \frac 1 2 ( 1- (-\frac {\sqrt{2}} 2)) } = \frac {\sqrt{2+\sqrt{2}}} 2 $$ ─ christian_strack 11.05.2020 um 09:42
Wir erhalten also
$$ \cos( \frac {18\pi} {24} ) = 0 \cdot \frac {\sqrt{2}} 2 - 1 \cdot \frac {\sqrt{2}} 2 = - \frac {\sqrt{2}} 2 $$
Das müssen wir jetzt noch einsetzen
$$ \sin( \frac {3\pi} 8 ) = \sqrt{ \frac 1 2 ( 1- (-\frac {\sqrt{2}} 2)) } = \frac {\sqrt{2+\sqrt{2}}} 2 $$ ─ christian_strack 11.05.2020 um 09:42
wenn ich im Taschenrechner die Ergebnisse vergleiche kommt für sin(3pi/8)=0,0206 und für (sqrt(2+sqrt2))/2 = 0,924.
Das kann doch immer noch nicht stimmen? ─ floriang18 11.05.2020 um 11:30
Das kann doch immer noch nicht stimmen? ─ floriang18 11.05.2020 um 11:30
Hast du deinen Taschenrechner auf Radiant gestellt? Ich erhalte das gleiche Ergebnis.
─
christian_strack
11.05.2020 um 11:33
Ob ich meinen Taschenrechner auf Bogenmaß oder Gradmaß einstelle ändert nichts am Ergebnis. Die 0,924 bleiben.
─
floriang18
11.05.2020 um 11:46
Ja für den Sinus sollst du ja auch deinen Taschenrechner auf Bogenmaß stellen ;) Da kommt nämlich dann auch \( 0{,}924 \) heraus.
─
christian_strack
11.05.2020 um 11:48
Ups klar, passt. Vielen Dank für deine Mühe:)
─
floriang18
11.05.2020 um 11:49
Sehr gerne :)
─
christian_strack
11.05.2020 um 18:18
KgV Pi/12 aber das passt einfach nicht;) ─ floriang18 08.05.2020 um 14:21