Bestimmtes Integral lösen

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 27.05.2021 um 16:12

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Kann mir jemand erklären, wie ich dieses Integral lösen kann?

integral from 0 to pi/3 (cos(x)/(2+cos(x)))
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Ich habe dies über cos(x)= 1-u^2 / u^2 +1 und dx = 2*du/u^2+1 versucht dabei kommt bei mir folgendes raus

integral from 0 to pi/3 ((2*(1-u^2)) / ((u^2+1)^2) * ((1-u^2)/(u^2+1)+2 ) ) weiter komme ich aber selber nicht.
  ─   userf976a4 27.05.2021 um 14:10

mit \(u=\tan(x/2) \) ist das doch mein Vorschlag! Du muß Deinen Ausdruck jetzt mit 1+u^2 erweitern, und dann hast Du die von mir angekündigte gebrochenrationale Funktion.   ─   professorrs 27.05.2021 um 16:12

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Das ist nicht ganz einfach: Rationale Funktionen von sin(x) und cos(x) können oft durch die Subtitution:
Hier \(\cos(x)=\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2 (x/2)}\) gelöst werden. Das sollte auch hier klappen. Der Integrand geht dabei in eine gebrochen rationale Funktion über, die weiter mit Partialbruchzerlegung behandelt werden kann. Ausführlicher habe ich das in meinem Buch "Mathematik Klausurtrainer" beschrieben.
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ich wolle heute paar downvotes sammeln :D

\( \frac{1}{3} \left(\pi -4 \sqrt{3} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right)\)
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