Du kannst einfach \(y=\tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\) benutzen und für die hyperbolsichen Funktionen \(\sinh(x)=\dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x})\) und \(\cosh(x)=\dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x})\) einsetzen. Dann erhälst du ja
\(y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\)
Wenn du nun den artanh bestimmen willst, bildest du also einfach die Umkehrfunktion indem du \(x\) und \(y\) tauschst und nach \(y\) umstellst. Als Tipp für einen Ansatz zum umstellen nach \(y\), erweitere den Bruch mit \(e^y\). Also:
\(x=\dfrac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}=\dfrac{(e^y-e^{-y})\cdot e^y}{(e^y+e^{-y})\cdot e^y} =\ldots\)
Versuche es von dort an erstmal alleine weiter. Wenn du nicht mehr weiter weist, dann sag bescheid.
Hoffe das hilft weiter.
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(e^y - e^-y) / (e^y + e^-y)
Ich muss jetzt ehrlich gesagt zugeben, dass ich nicht mehr weiterkomme.
Tut mir leid für die schlechte Formatierung. Den LaTeX Code konnte ich hier leider nicht einfügen. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 19:03
\(x=\dfrac{(e^y-e^{-y})\cdot e^y}{(e^y+e^{-y})\cdot e^y}=\dfrac{(e^y)^2-1}{(e^y)^2+1}\)
Nun muliplizierst du die Gleichung mit Nenner und erhälst:
\(x\cdot\left( (e^y)^2+1\right)=(e^y)^2–1\)
Jetzt ausklammern, alle nicht-e-Terme auf die rechte Seite und alle e-Terme auf die linke Seite bringen ... dann klammerst links \((e^y)^2\) aus und dann solltest du den Rest schaffen 😅👍 wenn nicht sag natürlich Bescheid ─ maqu 21.01.2021 um 20:13
Hoffentlich ist es diesmal richtig. Ich habe jetzt also auf die eine Seite alle e-Terme und auf die andere Seite x gebracht:
x = ((e^(y))^(2)-1) / ((e^(y))^(2)+1)
─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 20:40
Ich glaube diese Aufgabe übersteigt aktuell meine Fähigkeiten. (,_,)
Wäre es vielleicht möglich, dass du mir die restlichen Schritte hinschreibst? Auf diese Weise könnte ich wahrscheinlich am besten lernen wie es funktioniert. ─ wurzelbehandlung 21.01.2021 um 21:36
\(x \cdot (e^y)^2-(e^y)^2=-1-x \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 \cdot (-1+x)=-(1+x) \quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2 (1-x)=1+x =\quad \Leftrightarrow \quad (e^y)^2=\dfrac{1+x}{1-x} \quad \Leftrightarrow \quad e^y=\pm \sqrt{\dfrac{1-+x}{1-x}}\)
Da die e-Funktion immer positiv ist, reicht es die positive Wurzel für die weitere Betrachtung heranzuziehen:
Es gilt weiter:
\(e^y=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \quad \Leftrightarrow \quad \ln(e^y)=\ln \left( \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \right) \quad \Leftrightarrow \quad y=\ln \left( \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \quad \Leftrightarrow \quad artanh=y=\dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\)
Versuche vielleicht noch einmal alle Schritte nachzuvollziehen und schreibe es dir unbedingt nochmal aus, getreu dem Motto durch die Hand in den Verstand. Ich bin mir sicher, dass du beim zeigen dieser Identität viel mitnehmen kannst. ;) ─ maqu 21.01.2021 um 22:05