An die Algebra Profis unter euch: Spectrum Abbildung

Aufrufe: 326     Aktiv: 26.10.2023 um 10:29

0


Ich habe mal davon das Bild hochgeladen, um nicht die gesamten Formeln abzutippen.

Mich interessiert wie man hier vorgeht: Mein Anssatz lautet:

F:X->Y kann man definieren als p -> (phi)^-1 (p)  wobei ja 
phi die natürliche Einbettung von R[X] nach C [X]  darstellt, das würde wiederum bedeuten dass 
phi (x)=x ist.

Wie kann ich dauraus aber nun f(p) bestimmen?
Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 304

 
Kommentar schreiben
3 Antworten
1

So, das Ganze nochmal in Schönschrift.

\(f=\varphi^{*}\) ist wie folgt definiert: \(f:X\rightarrow Y,\;\;f(p) = \varphi^{-1}(p)\).
Dabei ist \(\varphi^{-1}\) nicht die Umkehrabbildung, sondern berechnet das Urbild von \(\varphi\), also: \(\varphi^{-1}(p) \;=\; \{ r\in\mathbb{R}[X]:\; \varphi(r)\in p\}\).
Bei unserem speziellen Fall \(\varphi\) ist das: \(\varphi^{-1}(p) \;=\; \{ r\in\mathbb{R}[X]:\; r\in p\} \;=\;\mathbb{R}[X] \cap p\).
Also: \(f(p) \;=\; \varphi^{*}(p) = \mathbb{R}[x] \cap p\).
Sei \(p=(x-i)\) nun das Primideal aller komplexen Polynome mit  \(x-i\) als Faktor.
Dann ist \(f(p) = \mathbb{R}[X] \cap p\).
Das ist die Menge aller reellen Polynome, die "\(x-i\)" als Linearfaktor haben.
Reelle Polynome bestehen bekanntermaßen aus

  • einem konstanten Faktoren
  • Linearfaktoren der Form \(x+a\), wobei \(a\in\mathbb{R}\)
  • quadratischen reellen Faktoren, also Polynomen der Form \((x+c)(x+\bar{c})\), wobei \(c \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}\)
Einer dieser Faktoren muss nun "x-i" enthalten. Das kann nur das quadratisches Polynom \((x+i)(x+\bar{i})=x^2+1\) sein.
Also ist \(f(p)\) das Ideal, aller reellen Polynom, die \(x^2+1\) als Faktor haben: \(f(p) = (x^2+1)\).
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe ich mir so auch gestern bereits klargemacht. Aber das ist gut, da ich weiß, dass ich es richtig verstanden habe :)   ─   vzqxi 26.10.2023 um 10:28

Kommentar schreiben

1
Es ist hier sehr leicht: \(f(p)=(x^2+1)\) und \(f^{-1}(f(p))=\{(x-i),(x+i)\}\). Wenn du Spektren zeichnest sieht man es sofort. Ansonsten es ist auch sehr leicht wenn man überlegt welche Elementen Spec R[X] hat:

f bildet o auf o ideal.
f bildet wenn a in R (X-a) auf (X-a)
f bildet wenn a nicht in R (X-a) auf (X-a)(X-complexconjugate(a))

muss also nur gucken was sind primideale von R[X] und welche liegen über diesen in C[X]
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 10.87K

 

an Downvoter: gezählt wird in Charakteristik 0!!!   ─   mathejean 25.10.2023 um 20:07

Vielen Dank für die Antwort   ─   vzqxi 26.10.2023 um 10:29

Kommentar schreiben

-2
Leider weiß ich nicht, was "Spec" hier bedeutet; Spektren beziehen sich für mich auf Abbildungen, nicht auf Mengen. Und was der "*" am \(\varphi\) bedeutet. Ist \(\mathbb{R}[X]\) die Menge aller reellen Polynome, oder aller rationalen Funktionen über  \(\mathbb[X]\), oder...?
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

Spec[X] ist die Menge aller Primideale in X. Phi* soll denke ich wie in meinem Ansatz dargelegt nur den Zusammenhang zu der natürlichen Einbettung darlegen. Das phi * so definiert ist, hatten wir in der Vorlesung. R[X] sollen alle reellen Polynome sein.   ─   vzqxi 25.10.2023 um 00:41

$\varphi^*$ bedeutet in so einem Kontext einfach nur dass das die von $\varphi$ induzierte Abbildung ist. Das ist einfach die übliche Schreibweise für inudzierte Abbildungen kontravarianter Funktoren wie dem $\operatorname{Spec}$-Funktor. Ich hab aus kommutativer Algebra wirklich alles vergessen aber du musst dir eigentlich bloß überlegen wie die induzierte Abbildung auf Primidealen operiert.   ─   zestysupreme 25.10.2023 um 01:58

Was mich viel mehr interessiert: Warum erhält dieser User downvotes für eine Frage?   ─   crystalmath 25.10.2023 um 17:44

Also, zu den Downvotes: Einmal hätte ich meine Rückfrage nicht in eine Antwort, sondern in einen Kommentar schreiben sollen.
Und beim zweiten Downvote kam es weil: Spec = functor (Ring) -> (Scheme)
Das habe ich auch nicht verstanden, aber " zestysupreme" kann's sicherlich leicht, ganz einfacherklären. Der kennt sich nämlich aus mit sowas.
Ja nee, is kla!
  ─   m.simon.539 25.10.2023 um 20:21

Ich habe dich nicht gedownvoted. Trotzdem verstehe ich die Downvotes. Zum einen ist das keine Antwort, zum anderen hilft das niemandem wenn du eine Frage kommentierst, bei der du die Begriffe nicht einmal kennst.   ─   zestysupreme 26.10.2023 um 01:58

Kommentar schreiben