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Die Bildmenge ist $\mathbb{Q}^+$. Die Definitionsmenge ist die Menge der Tupel (n,m) mit $n,m \in \mathbb{N}$. Dein x1 und dein x2 sind also Tupel. Und zweitens, wenn f(x1) = f(x2) (also die Funktionswerte gleich sind) gilt, muss daraus folgen, dass x1 = x2 ist.
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lernspass
27.01.2022 um 14:39
Hi lernspass, danke für Deine Antwort. Ich weiß nicht, ob Du meine obige Frage mit der unteren verknüpft hast, denn \(n, m\) kommen in meinem Buchbeispiel zu meiner Frage bzgl. der Umkehrbarkeit gar nicht vor.
In meiner Definition steht
"für alle x1, x2 "element" M gilt: f(x1) = f(x2) -> x1 = x2"
Meinem Verständnis nach sagt diese Definition aber, dass x1 und x2 gleich wären, was ja nicht sein darf. Kleines Beispiel, wie ich es auffasse: f(x1 = 5) = 7 u. f(x2 = 6) = 7. x1 und x2 sind doch dann nicht gleich.
Diese "x1 ≠ x2 ∈ M gilt: f(x1) ≠ f(x2)" Definition soll auch für die Umkehrbarkeit gelten. Die macht auch Sinn, weil hier immer verschiedene Werte impliziert werden.
Vielleicht kann da jemand nochmal ein bisschen Licht ins dunkle bringen. ─ user77253d 28.01.2022 um 10:58
In meiner Definition steht
"für alle x1, x2 "element" M gilt: f(x1) = f(x2) -> x1 = x2"
Meinem Verständnis nach sagt diese Definition aber, dass x1 und x2 gleich wären, was ja nicht sein darf. Kleines Beispiel, wie ich es auffasse: f(x1 = 5) = 7 u. f(x2 = 6) = 7. x1 und x2 sind doch dann nicht gleich.
Diese "x1 ≠ x2 ∈ M gilt: f(x1) ≠ f(x2)" Definition soll auch für die Umkehrbarkeit gelten. Die macht auch Sinn, weil hier immer verschiedene Werte impliziert werden.
Vielleicht kann da jemand nochmal ein bisschen Licht ins dunkle bringen. ─ user77253d 28.01.2022 um 10:58
Dein x1 muss ein Tupel sein, also z.B, (3,5) und f(x1) dazu ist $\frac{3}{5}$,
Beispiel Umkehrbarkeit Die Funktion $f(x)=x^2$ ist nicht umkehrtbar für alle x, denn du hast z.b. f(x)=4 für f(2) und f(-2). Also gilt f(2)=f(-2), aber daraus folgt nicht 2=-2.
Also auch dein Beispiel mit f(5)=7=f(6) ist ein Beispiel für eine Funktion, die nicht umkehrbar ist.
Zu deinem ersten Kommentar: 2. Doch genau das ist gemeint, du betrachtest den Fall, dass f(x1)=f(x2) für zwei beliebige x1 und x2. Du versuchst jetzt zu zeigen, dass daraus folgt, dass x1⁼x2 ist. Wenn das so ist, dann ist die Funktion umkehrbar, sonst nicht. Wenn man schon weiß oder vermutet, dass die Funktion nicht umkehrbar ist, nimmt man besser ein Gegenbeispiel, also so etwas wie ich oben genommen habe für die Funktion $f(x)=x^2$.
Ich hoffe, dir ist die Vorgehensweise klar. Sonst frag einfach. ─ lernspass 28.01.2022 um 11:19
Beispiel Umkehrbarkeit Die Funktion $f(x)=x^2$ ist nicht umkehrtbar für alle x, denn du hast z.b. f(x)=4 für f(2) und f(-2). Also gilt f(2)=f(-2), aber daraus folgt nicht 2=-2.
Also auch dein Beispiel mit f(5)=7=f(6) ist ein Beispiel für eine Funktion, die nicht umkehrbar ist.
Zu deinem ersten Kommentar: 2. Doch genau das ist gemeint, du betrachtest den Fall, dass f(x1)=f(x2) für zwei beliebige x1 und x2. Du versuchst jetzt zu zeigen, dass daraus folgt, dass x1⁼x2 ist. Wenn das so ist, dann ist die Funktion umkehrbar, sonst nicht. Wenn man schon weiß oder vermutet, dass die Funktion nicht umkehrbar ist, nimmt man besser ein Gegenbeispiel, also so etwas wie ich oben genommen habe für die Funktion $f(x)=x^2$.
Ich hoffe, dir ist die Vorgehensweise klar. Sonst frag einfach. ─ lernspass 28.01.2022 um 11:19
Was meinst Du mit den Tupeln? In meinem Buch wird nichts explizit von Tupeln erwähnt. Ich habe diese (x, y) Schreibweise zwar gefunden, jedoch wurde Sie nur in einem Satz verwendet und nicht erklärt. Aber in Deinem Beispiel "(3,5)" ist die fünf wahrscheinlich ein X-Wert oder? Weil Du direkt danach schreibst, dass f(x1) also der Funktionswert (an den Stellen der x-Werte aus dem Tupel?) = 3/5 ist?
Das mein Beispiel keine umkehrbare Funktion ist, habe ich ja versucht zu zeigen. Denn sowohl mein x1 als auch mein x2, kommen zwar auf den gleichen Bildwert aber sind ja an sich nicht gleich. Deswegen erschließt sich die Folgerung f(x1) = f(x2) -> x1 = x2 für mich nicht.
Irgendwas übersehe ich doch. ─ user77253d 28.01.2022 um 12:31
Das mein Beispiel keine umkehrbare Funktion ist, habe ich ja versucht zu zeigen. Denn sowohl mein x1 als auch mein x2, kommen zwar auf den gleichen Bildwert aber sind ja an sich nicht gleich. Deswegen erschließt sich die Folgerung f(x1) = f(x2) -> x1 = x2 für mich nicht.
Irgendwas übersehe ich doch. ─ user77253d 28.01.2022 um 12:31
Schau doch noch einmal meine Antwort an, den Definitionsbereich $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Die Elemente daraus nennt man Tupel. Als Beispiel hättest du jetzt $x1=(3,5)$ und $x2=(7,35)$ mit $f(x1)=\frac{3}{5}$ und $f(x2)=\frac{7}{35}$.
Punkte im Koordinatensystem sind auch Tupel, dann ist der erste Wert die x-Koordinate und der zweite Wert die y-Koordinate. Das ist in deinem Beispiel aber nicht so. Das darfst du nicht verwechseln. Du steckst ein Tupel (n,m) in deine Funktion rein und bekommst einen Bruch $\frac{m}{n}$ raus. ─ lernspass 28.01.2022 um 12:58
Punkte im Koordinatensystem sind auch Tupel, dann ist der erste Wert die x-Koordinate und der zweite Wert die y-Koordinate. Das ist in deinem Beispiel aber nicht so. Das darfst du nicht verwechseln. Du steckst ein Tupel (n,m) in deine Funktion rein und bekommst einen Bruch $\frac{m}{n}$ raus. ─ lernspass 28.01.2022 um 12:58
Ohje, ich hatte mich leider etwas unverständlich ausgedrückt. Wie ich in meiner ersten Antwort von heute im ersten Satz meinte, ging es nicht um die Verknüpfung zwischen meiner Frage zu Umkehrabbildungen und der Funktion, die auf die Brüche n/m abbildet. Frage auf Umkehrabbildungen bezog sich nur generell auf ein-elementige x-Werte z.B. x1 = 1 und x2 =2.
Es ging um die generelle Definition von Umkehrfunktionen! Die, wie gesagt, nichts mit dem Beispiel von "N ("kreuz") N" zutun hatten!
Aber auch auf das Beispiel mit den Tupeln bezogen, erschließt sich mir nicht, wie gem. dieser Definition "für alle x1, x2 "element" M gilt: f(x1) = f(x2) -> x1 = x2"
sich dann ergeben soll, dass aus Deinem Beispiel \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{7}{35}\), also x1 = x2 ist.
Also verstehst Du, womit ich gerade etwas hadere? 3/5 und /35 sind ja nicht gleich :(
EDIT: Ich meine natürlich, dein x1 und x2 sind unterschiedlich, also müsste dein Beispiel umkehrbar sein.
Was ich meine ist, die Werte hatte ich doch vorhin genannt. f(5)=7=f(6) und gemäß der Definition, müsste x1 = x2 sein. Ist es aber nicht. Weißt Du, was ich meine? ─ user77253d 28.01.2022 um 13:32
Es ging um die generelle Definition von Umkehrfunktionen! Die, wie gesagt, nichts mit dem Beispiel von "N ("kreuz") N" zutun hatten!
Aber auch auf das Beispiel mit den Tupeln bezogen, erschließt sich mir nicht, wie gem. dieser Definition "für alle x1, x2 "element" M gilt: f(x1) = f(x2) -> x1 = x2"
sich dann ergeben soll, dass aus Deinem Beispiel \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{7}{35}\), also x1 = x2 ist.
Also verstehst Du, womit ich gerade etwas hadere? 3/5 und /35 sind ja nicht gleich :(
EDIT: Ich meine natürlich, dein x1 und x2 sind unterschiedlich, also müsste dein Beispiel umkehrbar sein.
Was ich meine ist, die Werte hatte ich doch vorhin genannt. f(5)=7=f(6) und gemäß der Definition, müsste x1 = x2 sein. Ist es aber nicht. Weißt Du, was ich meine? ─ user77253d 28.01.2022 um 13:32
Nein tut mir leid. Jetzt weiß ich leider nicht wirklich, was du meinst. Meiner Meinung nach habe ich dir auf alles schon geantwortet.
Wenn eine Funktion umkehrbar ist, dann gilt für alle x1,x2 aus dem Definitionsbereich, dass aus f(x1)=f(x2) folgen muss, dass x1=x2 ist. Diese Richtung musst du zeigen. Wenn du also einen Funktionswert hast, dem du zwei unterschiedliche Elemente aus dem Definitionsbereich zuordnen kannst, dann ist die Funktion nicht umkehrbar. ─ lernspass 28.01.2022 um 13:57
Wenn eine Funktion umkehrbar ist, dann gilt für alle x1,x2 aus dem Definitionsbereich, dass aus f(x1)=f(x2) folgen muss, dass x1=x2 ist. Diese Richtung musst du zeigen. Wenn du also einen Funktionswert hast, dem du zwei unterschiedliche Elemente aus dem Definitionsbereich zuordnen kannst, dann ist die Funktion nicht umkehrbar. ─ lernspass 28.01.2022 um 13:57
Kann ich Dir Mal zeigen, wie ich die die Definition verstehe?
f(x1) = f(x2) -> x1 = x2
Also f: R -> R, x -> x2.
Dann habe ich ein x1=2 und ein x2= -2 aus meinem Definitionsbereich, dass die Aussage f(x1) = f(x2) erfüllt -> Aber eben nicht x1 = x2, denn 2 ≠ -2.
Ich weiß, dass die Funktion nicht umkehrbar ist. Zumindest solange nicht, wie man den Defbereich nicht einschränkt.
Siehst Du jetzt, was ich meine?
Kannst Du mal eine Funktion mit Beispielen zeigen, die diese Definition zeigt?
Also ich verstehe diese Definition eben so, dass es einen der Funktionswert sowohl an der Stelle x1 als auch x2 gleich ist und daraus folgt, dass x1 und x2 gleich sind. Aber da stimmt doch was nicht. ─ user77253d 28.01.2022 um 15:33
f(x1) = f(x2) -> x1 = x2
Also f: R -> R, x -> x2.
Dann habe ich ein x1=2 und ein x2= -2 aus meinem Definitionsbereich, dass die Aussage f(x1) = f(x2) erfüllt -> Aber eben nicht x1 = x2, denn 2 ≠ -2.
Ich weiß, dass die Funktion nicht umkehrbar ist. Zumindest solange nicht, wie man den Defbereich nicht einschränkt.
Siehst Du jetzt, was ich meine?
Kannst Du mal eine Funktion mit Beispielen zeigen, die diese Definition zeigt?
Also ich verstehe diese Definition eben so, dass es einen der Funktionswert sowohl an der Stelle x1 als auch x2 gleich ist und daraus folgt, dass x1 und x2 gleich sind. Aber da stimmt doch was nicht. ─ user77253d 28.01.2022 um 15:33
Nimm doch einmal eine Geradengleichung f(x)=3x+7. Diese Funktion ist umkehrbar.Du fängst an. f(x1)=f(x2), also 3x1+7=3x2+7. Durch Umformung erhälst du x1=x2. Für beliebige x gilt: f(x1)=f(x2) -> x1=x2.
Im Prinzip besagt die Umkehrbarkeit, dass jedes Bild (Funktionswert) nur von einem x, dass man in die Funktion einsetzt, getroffen wird. Sobald das nicht der Fall ist, ist die Funktion nicht umkehrbar, weil es keine eindeutige Umkehrabbildung gibt. ─ lernspass 28.01.2022 um 16:42
Im Prinzip besagt die Umkehrbarkeit, dass jedes Bild (Funktionswert) nur von einem x, dass man in die Funktion einsetzt, getroffen wird. Sobald das nicht der Fall ist, ist die Funktion nicht umkehrbar, weil es keine eindeutige Umkehrabbildung gibt. ─ lernspass 28.01.2022 um 16:42
Ok, also da ist das, was mich so verwundert. Du schreibst: "f(x1)=f(x2), also 3x1+7=3x2+7", Wieso ist das "gleich"? Das "ist-gleich" impliziert doch Gleichheit, aber da ist keine Gleichheit haha, oder bedeutet das "ist-gleich" in diesem Fall etwas anderes?
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user77253d
29.01.2022 um 00:56
Ok, also nur dass ich das richtig verstanden habe. Umkehrbarkeit liegt in dem gegebenen Beispiel vor, da f(x1)=f(x2), also 3x1+7=3x2+7 -> 1 = 2.
Also "Gleichheit" liegt vor, wenn die Funktionswerte unterschiedlich sind? ─ user77253d 31.01.2022 um 11:28
Also "Gleichheit" liegt vor, wenn die Funktionswerte unterschiedlich sind? ─ user77253d 31.01.2022 um 11:28
$3x_1+7=3x_2+7 \to x_1=x_2$ Umkehrbarkeit liegt vor, weil aus der Gleichheit der Funktionswerte folgt, dass die x-Werte gleich sind.
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lernspass
31.01.2022 um 17:24
Eine kleine Frage hätte ich noch zu Abbildungen.
Es geht um die Umkehrbarkeit von Abbildungen.
Sei X eine Menge und M eine Teilmenge von X(Ich weiß leider nicht, wie die Mathjax Befehle für die Teilmengensymbole sind).
f: X -> f(X). f heißt umkehrbar auf M, wenn jedes y "element" f(M) nur genau einmal getroffen wird, d.h.
für alle x1, x2 "element" M gilt: f(x1) = f(x2) -> x1 = x2.
Diese Definition macht mir etwas Sorgen.
1. "für alle x1, x2", damit ist einfach gemeint: alle Werte aus M, oder?
2. "f(x1) = f(x2) -> x1 = x2" -> Was genau ist damit gemeint? Auf jeden Fall ist damit nicht gemeint, dass die Funktionswerte f(x1) und f(x2) gleich sind.
─ user77253d 27.01.2022 um 14:06