Richtig integrieren muss auch gekonnt sein

Aufrufe: 91     Aktiv: 27.08.2021 um 03:29

0
$\int 5(x-1)^2dx$ = \(\frac{5}{3}(x-1)^3 = \frac{5}{3}(x^3-3x^2+3x-1) = \frac{5}{3}x^3-5x^2+5x-\frac{5}{3}\)

aber:

$\int 5(x-1)^2dx$ = $\int 5(x^2-2x+1)dx$  =  $\int 5x^2-10x+5 dx$ = \(\frac{5}{3}x^3 -5x^2 +5x\) 

Was stimmt davon jetzt, und warum ist das eine falsch, ich steh komplett auf dem Schlauch.
Diese Frage melden (1)
gefragt

Punkte: 156

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Wieso meinst Du, dass eines der Ergebnisse falsch ist? Es sind beide richtig, mach die Probe durch Ableiten! Mach es wirklich! Und dann überlege mal, was Du über zwei Stammfunktionen zur selben Funktion gelernt hast und warum man immer "+C" dabei schreiben sollte.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 16.16K

 

ach wie blöd. ja klar, danke hahaha   ─   sorcing 26.08.2021 um 16:10

...und bei $+C$ nicht den Zusatz für alle $C\in\mathbb{R}$ vergessen...   ─   joergwausw 26.08.2021 um 17:43

2
@joergwausw: Das habe ich noch nie gesehen und halte ich auch für falsch. Eine Stammfunktion ist ja nicht = ...+C für alle C. Sondern für EIN C.
Bin daher an ner Quelle interessiert, wo das mit "für alle" steht.
  ─   mikn 26.08.2021 um 21:59

Es gilt doch:

Wenn $F'(x)=f(x)$ gilt, dann ist $F(x)+C$ ist für jedes $C\in\mathbb{R}$ ebenfalls eine Stammfunktion zu $f(x)$, , also für alle $C\in \mathbb{R}$.
Beweis: Für alls $C\in\mathbb{R}$ gilt wegen Summenregel und Konstantenregel: $(F(x)+C)'=F'(x)+0=F'(x)$, also ist $F(x)+C$ für alle $C$ eine Stammfunktion von $f(x)$.


Letztlich ist es vom Kontext abhängig, den der Fragesteller nicht gegeben hatte:
Wenn ich "$+C$" höre, sollte auch dabeistehen, was $C$ sein soll. Das komplett wegzulassen halte ich für falsch, deswegen habe ich da etwas ergänzt.

Aus dem Schulkontext kommend denke ich beim uneigentlichen Integral zuerst an die Fragestellung "gib alle Stammfunktionen von... an".
Wenn die Aufgabe lautet "gib eine Stammfunktion an", dann braucht man das C ja nicht, weil $C=0$ erlaubt ist, also nicht hingeschrieben werden muss.
Wenn die Frage lautet: "Gib eine Stammfunktion an ohne zu verraten, welche" oder "... und finde das richtige C, damit... gilt", dann ergäbe "für ein C" für mich Sinn. Das braucht man, wenn Randbedingungen erfüllt werden müssen. Wäre das beim Fragesteller der Fall gewesen, dann wäre das Problem aber nie aufgetaucht.
  ─   joergwausw 27.08.2021 um 03:29

Kommentar schreiben