Verständnisfragen zum Lösungsweg eines Cauchy-Produkts

Aufrufe: 626     Aktiv: 06.12.2021 um 18:58
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Wir hatten im Skript von der VL zwei Reihen an = bn = $\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ und wollten zeigen, dass dessen Cauchyprodukt (cn) divergiert.
Dafür hatten wir diesen Lösungsweg:

Erstmal soweit so gut, ist nur die allgemeine Def und ein wenig Umformung

Hier wird wohl der Nenner des Bruchs ohne Wurzel abgeschätzt. Kann man sowas induktiv beweisen? Und warum genau schätzt man das jetzt eigentlich überhaupt ab? Ist da $(n+1)^2$ so offentsichtlich?

Das ist durch die obere Abschätzung klar.
Aber jetzt kommt diese Folgerung:
-> Reihe cn divergiert.
und hier komme ich nicht mehr weiter. Also ich verstehe jetzt zum einen nicht warum der Betrag da auf einmal steht und woher diser zusätzliche Faktor (n+1) kommt.

Es wäre sehr lieb, wenn mir da jemand helfen könnte, weil ich letzte Woche krank war und mir meine Kommilitonen auch nicht wirklich weiterhelfen können.
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1 Antwort
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Der Betrag steht da, weil man $|c_n$ nach unten abschätzen will $c_n$ hat ja wechselndes Vorzeichen). Und in der Summe rechts ist (gemäß vorheriger Abschätzung) JEDER Summand größer als $\frac1{n+1}$, wodurch der Summand unabhängig von $k$ wird. Da es n+1 Summanden gibt, ist die gesamte Summe $>$ Anzahl Summanden mal $\frac1{n+1}$, also 1, also:

$|c_n| >\sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac1{n+1} = \frac1{n+1} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 1= \frac1{n+1}\cdot (n+1) $.

Ist damit alles geklärt?|

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Vielen lieben Dank, das hilft mir für mein Verständnis weiter.
Zum 2. Schritt, da wird ja gezeigt: $$(n-k+1)(k+1)< (n+1)^2 \Rightarrow \sqrt{(n-k+1)(k+1)}< (n+1) \Rightarrow \frac {1}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}} > \frac {1}{n+1} $$. Wie beweist man sowas "formal", bzw. habe ich die Argumentation dahinter noch nicht ganz verstanden, woher jetzt diese konkrete $(n+1)^2$ kommt.   ─   birgitta 06.12.2021 um 18:20
Supi, dank dir. Hab alles Verstanden :D   ─   birgitta 06.12.2021 um 18:58

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