Beweis mit Binomialkoeffizient

Aufrufe: 67     Aktiv: 11.06.2022 um 17:44

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Ich soll folgendes beweisen:

Den Zusammenhang im Pascalschen Dreieck habe ich verstanden. 
Nun habe ich versucht, dies umzuschreiben mittels der Definition des Binomialkoeffizienten, komme jedoch beim vereinfachen nicht weiter (falls der Ansatz überhaupt korrekt ist). 

Bis hier bin ich gekommen. Ist das soweit richtig und wie würde ich weiter vorgehen? 

EDIT vom 11.06.2022 um 15:41:

Die Lösung sollte korrekt sein, ich verstehe jedoch die Umrechnung im Nenner nicht (roter Schritt). 
Wenn ich "rückwärts" rechne macht es Sinn (sprich n+1 und k+1 in die Definition vom Binomialkoeffizient eingesetzt), jedoch ist dies ja nicht der Sinn der Sache...
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Der Beweis einer (Un)Gleichung fängt immer mit dem Hinschreiben einer der beiden Seiten der (un)Gleichung an. Man springt nicht gleich in die erste Umformung rein.
Du bist doch schon fast fertig. Im Zähler nur noch ausklammern, im Nenner zusammenfassen.
Für alle Fälle noch: Der Beweis endet mit der hingeschriebenen anderen Seite der (Un)gleichung, so dass man eine vollständige Kette von einer zur anderen Seite hat.
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Habe es nun als vollständige Kette geschrieben. Wie komme ich jedoch im Nenner auf diese Umformung? Wie bereits im EDIT erwähnt ist es rückwärts logisch, aber nicht vorwärts. Bin nicht geübt im Umformen von Fakultäten, darum bereitet mir dieser Schritt Mühe. PS: Danke für den Input bezüglich der Notierung. :)   ─   nas17 11.06.2022 um 15:46

Sei mal nicht zu anspruchsvoll. Es ist durchaus erlaubt im Kopf (oder auf einem Zettel) zu behalten, was idealerweise rauskommen soll. Dann sieht man, das tut es, wenn man n-k entsprechend auseinanderzieht. Der Mathematiker nennt das "eine nahrhafte 1 spendieren", aber das tut er auch nur, wenn er mindestens schon ahnt wo er hin will.   ─   mikn 11.06.2022 um 15:53

Damit möchte ich überprüfen, dass die Berechnung in der Mitte korrekt ist, sonst könnte man doch einfach "aufgeben" und dann die Lösung (weil man ja weiss, was rauskommen muss) hinten hinschreiben und hoffen, dass der Lehrer es nicht merkt. :D
Habe mir nun rausgeschrieben: (n-k)! = [(n+1)-(k+1)] Danach habe ich zum Ausprobieren n=4 genommen und k=3. Damit hätte ich (4-3)! = [(4+1)-(3+1)]! --> 1!=1! Dies ist klar, da 4-3 = 5-4
Zusatzfrage: Mathematiker würden gem. meiner Vorstellung dann die Lösung im Kopf oder Zettel behalten und sich dann "von hinten" an die Lösung nähern? Ich hätte hier ja den zweitletzten Schritt bereits zu Beginn aufschreiben können und dann zum Schluss eine Äquivalenzumformung vom zweitletzten Schritt hin zum drittletzten (roter Strich in EDIT).
  ─   nas17 11.06.2022 um 16:07

Diese rot markierte Berechnung hat mit Fakultäten nichts zu tun. Es ist halt n+1-(k+1)=n-k.
Das von "hinten annähern" macht man beim Lösen als Nebenrechnung. Aufschreiben tut man es dann so, dass es aussieht als hätte man den Trick gesehen. Das ist aber bei vielen Beweisen so.
Natürlich kann man das auch mit einer Ä-Umformung schreiben, aber - wie eben gesagt - das würde man bestenfalls auf nem Schmierzettel machen und es dann ordentlich aufschreiben so wie Du es schon getan hast. Und es ist auch keine Ä-Umformung, sondern eine Termumformung.
Und ja, die Gefahr, dass jemand aufgibt und es sieht so aus, als hätte er die nötige Umformung erkannt, besteht durchaus. Meist erkennt der erfahrenen Korrekteur aber an anderen Ungeschicklichkeiten, dass hier gemogelt würde.
Je mehr Du aber über die Umformung mit zwei Grundrechenarten redest, desto mehr beschleicht mich der Verdacht, dass Du es auch noch nicht verstanden hast.
  ─   mikn 11.06.2022 um 17:10

Habe es nun verstanden. Die Fakultät bezieht sich ja auf die Klammer und nicht auf die einzelnen Summanden. Zu Beginn war ich auch beim Ausmultiplizieren unsicher, ob das bei Fakultäten gleich geht wie sonst. Jetzt ist es mir jedoch klar. Den Trick "Resultat auf Schmierzettel" ist für mich sehr wichtig, um auf die Lösung zu kommen.
"Äquivalenzumformung" habe ich hier falsch angewendet, das wäre bei Gleichungen passender...
  ─   nas17 11.06.2022 um 17:24

Aha, also doch. Fakultät ist eine hochgradig nichtlineare Funktion, das kann man nicht so einfach auf Summanden verteilen. Genau wie bei Wurzeln, Quadraten, Logarithmen u.v.m.   ─   mikn 11.06.2022 um 17:29

Mit "also doch" meinst Du, dass ich es doch nicht verstanden habe? Meine Aussage, dass die Fakultät sich auf die Klammer bezieht stimmt doch (rot markierte Berechnung)? Dann dürfen wir doch in der Klammer eine "Termumformung" vornehmen? z.B. (5-3)! = (6+3-7)!   ─   nas17 11.06.2022 um 17:40

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Ja, das meinte ich, dass Du vorher unsicher warst, weil Du den Ausdruck falsch umformen wolltest. Natürlich darf man in der Klammer die Umformung machen, dabei umschifft man ja eventuelle Unsicherheiten mit Fakultäten.   ─   mikn 11.06.2022 um 17:44

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