Hilfe bei Lineare Algebra

Erste Frage Aufrufe: 1094     Aktiv: 09.03.2020 um 15:25
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Für Lösungsansätze oder komplette Lösungen wäre ich sehr dankbar. 

 

 

 

 

 

 

 

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Schüler, Punkte: 16

 
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Bezüglich (h1) wo ja 2 Matrizen gegeben sind: 2 Matrizen A und B sind invers zueinander, wenn gilt: AB = BA = I Und I ist die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen sonst. Jetzt kannst du also ein Matrixprodukt deiner 2 gegebenen Matrizen berechnen. Die Matrix, die du als Produkt erhältst, musst du dann mit der Einheitsmatrix vergleichen. Dann kannst du daraus Gleichungen aufstellen, die erfüllt sein müssen, damit deine Produktmatrix gleich der Einheitsmatrix ist. Aus diesem Gleichungssystem lassen sich dann gegebenenfalls die Parameter x und y bestimmen, so dass die Matrizen Invers zueinander sind.
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Danke erst mal für die prompte Antwort. Mein Problem ist es nicht, dass Verfahren zu erkennen, sondern während meiner Lösung baue ich Fehlern ein. Daher wollte ich zu Aufgabe e2) eine Lösung haben. Ist aber auch mein Fehler, weil ich das so nicht gefragt habe.   ─   eduard 09.03.2020 um 13:51
Hallo Eduard,

war ja kein Angriff gegen dich, sondern nur eine Anmerkung. Dann zeige doch einfach deine Rechnung und wo es hakt, dann sehen alle deine Bemühungen, erkennen vielleicht deinen Fehler und können dir gezielter helfen.   ─   el_stefano 09.03.2020 um 13:55
Hab meine Rechnung nun reingestellt. Weißt nur nicht, wie ich weitermachen soll. Hoffe du kannst mir ein Paar Tipps geben.   ─   eduard 09.03.2020 um 14:19
Also dein erster Schritt, wo du die 1. Zeile nutzt um die 2. und 3. Zeile in der 1. Spalte auf 0 zu bringen, sieht sehr gut aus!

Im 2. Schritt also du die 1. Zeile mal 2 nimmst, denke ich, dass das nicht notwendig ist.

Du benutzt die 2. Zeile um in der 3. Zeile den 2. Eintrag auf 0 zu bringen. Dann hast du die gewünschte Treppenstufenform mit Nullen unter der Diagonale.

Wenn du jetzt einfach die 2. und 3. Zeile addierdt, hebt sich die -2 in der 3. Zeile auf und aus (r+4) - 4 folgt einfach nur r


Dann hast du in der letzten Zeile nur r | 14 stehen.

Daraus kannst du erstmal eine Aussage zur Lösbarkeit machen, denn das Gleichungssystem ist nur für r ungleich 0 lösbar.

Die letzte Zeile bedeutet ja dann nichts anderes als

r z = 14 (wenn r = 0 wäre das eine falsche Aussage und das Gleichungssystem nicht lösbar)

Jetzt kannst du ausrechnen z = 14/r

Anschließend kannst du dieses z in die Gleichung der 2. Zeile einsetzen und dein y bestimmen und mit diesen beiden Werten und der 1. Zeile kannst du auch x bestimmen. Dadurch, dass in z das r drin steckt, wird deine Lösung somit immer in Abhängigkeit von r sein.   ─   el_stefano 09.03.2020 um 15:04
Mega danke, dadurch hab ich die Aufgabe jetzt verstanden.   ─   eduard 09.03.2020 um 15:24
Freut mich! Viel Erfolg weiterhin ;)   ─   el_stefano 09.03.2020 um 15:25

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Hallo Eduard, für komplette Lösungen ist diese Plattform nicht gedacht, viel mehr sollen wir hier Ansätze geben oder über Probleme hinweg helfen. Nun zu deinen Aufgaben: Das Gleichungssystem in Matrixform zu überführen bedeutet, dass du die Koeffizienten vor den Variablen x,y,z in eine Matrix A überführst, genauso wie die rechte Seite (dann als Vektor). Aus Matrix A und dem Vektor der rechten Seite kannst du dann die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen. Auf diese erweiterte Koeffizientenmatrix kannst du nun das Gauß Verfahren anwenden, so dass du versuchst unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen durch geeignete Multiplikation und Addition der einzelnen Zeilen.
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e1) Die Gleichung ist \(\begin {pmatrix}1&-1&0\\1&1&-4\\1&-3&r+4\end {pmatrix}\begin {pmatrix}x\\y\\z\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}-1\\7\\-7\end {pmatrix}\)

e2) Führe einfach den Gauß-Algorithmus durch und schaue, wie deine Lösung ausschaut. Beachte, dass du im Fall \(r=-4\) nicht durch \(r+4\) teilen kannst.

h1) Versuche doch mal, \(A\) zu invertieren, wobei du \(x\) einfach wie eine Zahl behandelst. 

h2) Die Determinante ist dann 0. Wenn du die noch nicht kennst: In deiner invertierten Matrix taucht der Faktor \(\frac1 {-x-8}\) auf. Ist \(x=-8\), dann würdest du durch 0 teilen.

Versuch mal, damit zu arbeiten. Wenn irgendwo Probleme auftauchen, können wir gern über deinen Lösungsweg diskutieren. 

 

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Bei (h2) kann man über verschiedene Charakterisierungen von Invertierbarkeit argumentieren (die du dir unbedingt anschauen solltest!) Dazu zählen unter anderem: Determinante ungleich 0 Eigenwerte ungleich 0 Oder eben: Die Zeilenvektoren sind linear unabhängig. Wenn du nun für x = -8 setzt, dann kannst du ja mal auf lineare Unabhängigkeit der Zeilen überprüfen und wirst vielleicht etwas feststellen ;)
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