Sylowgruppen von A4 bestimmen

Aufrufe: 130     Aktiv: 17.02.2024 um 13:46

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Hallo :)

ich versuche gerade die p-Sylowgruppen von A4 (alternierende Gruppe) zu bestimmen. Folgendes hab ich schon gemacht:
IA4I = 12 = 2^2 * 3, nach Sylowsatz 1 haben wir also mind. eine 2-Sylowgruppe und mind. eine 3-Sylowgruppe.
Mit dem 4. Sylowsatz (in unserem Skript heißt er zumindest so) gilt s2 (also die Anzahl der 2-Sylowgruppen) teilt 12 und genauso s3.
Außerdem gilt ja mit demselben Sylowsatz, dass s2 = 1 mod 2 ist und s3 = 1 mod 3 ist.
Insgesamt kommt man also auf s2 element {1,3} und s3 element {1,4}.
Was ich auch noch weiß, ist folgendes: unabhängig von der Anzahl ist die Ordnung der 2-Sylowgruppe(n) 4 und der 3-Sylowgruppen 3.
So bis hierhin hab ich es geschafft, aber ich hab keine Ahnung, wie man jetzt weitermacht und zum einen die genaue Anzahl bestimmt und dann auch noch die Gruppen konkret angibt.

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\(A_4\) sei die Menge der geraden Permutationen der Zahlen \(\{1,2,3,4\}\)

Zu den 3-Sylowgruppen:
Für jede Zahl \(z\in\{1,2,3,4\}\) betrachte die Gruppe \(S_z\), die aus allen Elemente in \(A_4\) liegen und z konstant lassen: \(S_z=\{\sigma\in A_4;\; \sigma(z)=z\}\).
Die Elemente von \(S_z\) haben die Ordnung 1 oder 3, mithin ist \(S_z\) eine 3-Gruppe.
Eine echte Obergruppe O von \(S_z\) muss ein Element g haben, welches z verändert. Daraus kann man herleiten, dass \(O=A_4\) ist, denn man kann jedes Element aus g und aus den Elementen aus \(S_z\) "zusammenbasteln".
\(S_z\) ist also eine 3-Sylowgruppe. Davon gibt es 4 Stück. Mehr kann es nicht geben, denn die Anzahl der 3-Sylowgruppen ist ein Teiler von 4.

Zu den 2-Sylowgruppen:
Ich habe mal ein Programm geschrieben, dass stumpf alle Untergruppen von \(A_4\) ausrechnet und dann alle Sylow-Gruppen herausfischt. Hierbei kam heraus, dass es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, nämlich \(T=\{e,\;\sigma_{14}\circ\sigma_{23},\;\sigma_{12}\circ\sigma_{34},\; \sigma_{13}\circ\sigma_{24}\}\),
wobei
- e das neutrale Element ist,
- \(\sigma_{ab}\) diejenige Permutation ist, welche Zahlen a und b vertauscht und alle anderen Elemente konstant lässt.
T ist die einzige 2-Sylowgruppe, denn alle 2-Sylowgruppen sind zueinander isomorph. Also muss eine 2-Sylowgruppe ein Element der Ordnung 1 haben, und 3 Elemente der Ordnung 2. Es gibt aber in \(A_4\) nur ein Element der Ordnung 1, und 3 Elemente der Ordnung 2.
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