$A_4$ sei die Menge der geraden Permutationen der Zahlen $\{1,2,3,4\}$

Zu den 3-Sylowgruppen:
Für jede Zahl $z\in\{1,2,3,4\}$ betrachte die Gruppe $S_z$, die aus allen Elemente in $A_4$ liegen und z konstant lassen: $S_z=\{\sigma\in A_4;\; \sigma(z)=z\}$.
Die Elemente von $S_z$ haben die Ordnung 1 oder 3, mithin ist $S_z$ eine 3-Gruppe.
Eine echte Obergruppe O von $S_z$ muss ein Element g haben, welches z verändert. Daraus kann man herleiten, dass $O=A_4$ ist, denn man kann jedes Element aus g und aus den Elementen aus $S_z$ "zusammenbasteln".
$S_z$ ist also eine 3-Sylowgruppe. Davon gibt es 4 Stück. Mehr kann es nicht geben, denn die Anzahl der 3-Sylowgruppen ist ein Teiler von 4.

Zu den 2-Sylowgruppen:
Ich habe mal ein Programm geschrieben, dass stumpf alle Untergruppen von $A_4$ ausrechnet und dann alle Sylow-Gruppen herausfischt. Hierbei kam heraus, dass es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, nämlich $T=\{e,\;\sigma_{14}\circ\sigma_{23},\;\sigma_{12}\circ\sigma_{34},\; \sigma_{13}\circ\sigma_{24}\}$,
wobei
- e das neutrale Element ist,
- $\sigma_{ab}$ diejenige Permutation ist, welche Zahlen a und b vertauscht und alle anderen Elemente konstant lässt.
T ist die einzige 2-Sylowgruppe, denn alle 2-Sylowgruppen sind zueinander isomorph. Also muss eine 2-Sylowgruppe ein Element der Ordnung 1 haben, und 3 Elemente der Ordnung 2. Es gibt aber in $A_4$ nur ein Element der Ordnung 1, und 3 Elemente der Ordnung 2.