\(A_4\) sei die Menge der geraden Permutationen der Zahlen \(\{1,2,3,4\}\)

Zu den 3-Sylowgruppen:
Für jede Zahl \(z\in\{1,2,3,4\}\) betrachte die Gruppe \(S_z\), die aus allen Elemente in \(A_4\) liegen und z konstant lassen: \(S_z=\{\sigma\in A_4;\; \sigma(z)=z\}\).
Die Elemente von \(S_z\) haben die Ordnung 1 oder 3, mithin ist \(S_z\) eine 3-Gruppe.
Eine echte Obergruppe O von \(S_z\) muss ein Element g haben, welches z verändert. Daraus kann man herleiten, dass \(O=A_4\) ist, denn man kann jedes Element aus g und aus den Elementen aus \(S_z\) "zusammenbasteln".
\(S_z\) ist also eine 3-Sylowgruppe. Davon gibt es 4 Stück. Mehr kann es nicht geben, denn die Anzahl der 3-Sylowgruppen ist ein Teiler von 4.

Zu den 2-Sylowgruppen:
Ich habe mal ein Programm geschrieben, dass stumpf alle Untergruppen von \(A_4\) ausrechnet und dann alle Sylow-Gruppen herausfischt. Hierbei kam heraus, dass es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, nämlich \(T=\{e,\;\sigma_{14}\circ\sigma_{23},\;\sigma_{12}\circ\sigma_{34},\; \sigma_{13}\circ\sigma_{24}\}\),
wobei
- e das neutrale Element ist,
- \(\sigma_{ab}\) diejenige Permutation ist, welche Zahlen a und b vertauscht und alle anderen Elemente konstant lässt.
T ist die einzige 2-Sylowgruppe, denn alle 2-Sylowgruppen sind zueinander isomorph. Also muss eine 2-Sylowgruppe ein Element der Ordnung 1 haben, und 3 Elemente der Ordnung 2. Es gibt aber in \(A_4\) nur ein Element der Ordnung 1, und 3 Elemente der Ordnung 2.