Mengenumformung nachvollziehen

Erste Frage Aufrufe: 285     Aktiv: 06.05.2023 um 18:52

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Hallo ihr Lieben,

ich habe hier folgende Umformung einer Menge gegeben:

Das ist eine Teilaussage eines anderen Beweises, welche ich für das Verstänandis gerne nachvollziehen möchte. Dabei ist die erste Umformung noch klar. Mir bereitet die letze Umformung Schwierigkeiten, wo $k= \frac{m}{d}$ gesetzt wurde. Kann mir jemand erklären, warum ich da in der Mengeneigenschaft einfach durch $d$ teilen kann?

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Wenn $k=\frac{m}{d}$, dann ist $m=\dots$?
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Ja dann ist $m=kd$. Wenn man noch ein Zwischenschritt möchte, könnte man noch was wie $= \{k \in Z|1 \leq kd \leq n, gcd(k, \frac{n}{d})=1 \}$, aber wenn ich jetzt durch $d$ teile, dann komme ich auf $ \{k \in Z|\frac{1}{d} \leq k \leq \frac{n}{d}, gcd(k, \frac{n}{d})=1 \}$ und das ist ja nicht genau das selbe wie da oben. Habe ich da jetzt ein Denkfehler? Genau das ist halt der Punkt, der mich da an der Tafel so irritiert hat, weil die Annahme $1=1/d$ falsch wäre, aber ich sonst nicht so richtig auf das Ergebnis komme

  ─   helenna3tx 06.05.2023 um 17:13

Für \(k \in \mathbb{Z}\), \(d \in \mathbb{N}_{\geq 1}\) ist $\frac 1d \leq k \Leftrightarrow 1\leq k$   ─   mathejean 06.05.2023 um 17:59

Nachvollziehbare Überlegung. Weil $gcd(m,n)=d$ gilt $d|m$, also ist k auch tatsächlich eine ganze Zahl.
Danke für eure Hilfe
  ─   helenna3tx 06.05.2023 um 18:52

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