Eigenschaften von Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 896     Aktiv: 07.06.2021 um 21:31
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Welche Eigenschaft hat die folgende Abbildung?

L: R² --> R; (x,y) --> xy


Surjektiv, Injektiv oder eine lineare Abbildung.

Meine Idee:

Surjektiv. Weil z.B. 1*-2 und -1*2 auf das gleiche Element aus R zeigen. Damit kann's keine injektive Abbildung sein, weil dort ja immer xy auf nur einen Wert abbilden müsste.

Bei der linearen Abbildung bin ich mir nicht sicher. Wie könnte ich das überprüfen?

Hoffe mir kann jemand helfen
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Zu "Meine Idee:" Das ist sehr gut und richtig. Zeigt aber, dass L nicht injektiv ist.
Die Frage, ob L surjektiv ist, ist damit noch offen.
Linear: Für Linearität müsste u.a. gelten L(2(x,y))=2L(x,y). Prüfe das nach. Wenn man es widerlegen will, dann am besten mit einem konkreten Gegenbeispiel (so wie bei injektiv).
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

 
Also ist die Begründung für die Surjektivität falsch so wie ich die geschrieben habe?

Der für den Nachweis der Surjektivität müsste ich ja y = f(x) lösen oder?
Doofe Frage: Da y ja hier bereits vergeben ist, kann ich mir dann einfach einen anderen Buchstaben heraussuchen?

a = x * y
x = a / y

Kommt mir aber irgendwie falsch vor...

Ich versuchs mal weiter mit der Linearität:
Dort muss dann ja gelten:

1. L(v + w) = L(v) + L(w)
2. L(λv) = λL(v)

Zu 1:

L(x1y1 + x2y2)
= L(x1x2) + L(y1y2)

Zu 2:
L(λ(xy))
= λx * λy
= λL(xy)

Hmm.. Kommt mir irgendwie alles Mist vor was ich hier mache...
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:10
Zur 1. Verwirrung: Ups sry.. Falsch verstanden gehabt. ^^

Zu meinem "Nachweis" der Surjektivität: Also stimmt der?

Zur 2. Verwirrung: Das habe ich so meinen Unterlagen entnommen, dass dann diese 2 Fälle gelten müssen. Für andere Aufgaben habe ich so die Lösung hier zumindest stehen.

  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:19
Ugh, ich tue mich einfach schwer mit dem Ganzen gerade mit den Beweisen :(

Zum Nachweis der Surjektivität:
Da stehe ich gerade wirklich auf dem Schlauch...
Für jedes x in R gibt es ein R² für das gilt: x = a / y
??

Zur Linearität:
Ich will ja zeigen, dass es egal ist, ob man erst die Funktion multipliziert und dann abbildet (1), oder erst abbildet und dann multipliziert (2). Oder?
L(2(x,y))=2L(x,y)

Auf der linken Seite gilt 1) und auf der rechten 2).
Wenn ich nun den Vektor (2,3) nehme dann würde so auf der linken Seite stehen:
L(2 (2,3) = L(12)
und auf der rechten Seite:
2(L(2,3) = L(12)

Bin mir hier einfach extrem unsicher ob ich das Konzept hinter allem überhaupt kapier..   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:49
Ich komme mir bei sowas einfach schon regelmäßig total dumm vor.. :D :( Also erst einmal danke für deine Geduld.

" L ist surjektiv, wenn es zu jedem z aus R (NEUER Buchstabe!!!) ein Paar (x,y) gibt mit L(x,y)=z."
Die Abbildung L verwirrt mich einfach irgendwie.. Ich weiß, dass es eig. nix anderes ist, als ein f(x) zwischen den Vektorräumen R und R² (oder?) Aber irgendwie bekomm ich das nicht in meinen Kopf.

Nehme ich nun also z.B.: z = 12
Dann wäre ein passendes Paar: 4*3
Oder auch 6*2.

Wenn ich das so richtig verstanden habe, dann muss ich das jetzt einfach irgendwie allgemein Formulieren.
z = x * y
Und nun hakt es... Aus anderen Aufgaben kenne ich es nun so, dass man das ganze nach x auflöst, und schaut, ob der Ausdruck dann auch für alle R gilt.
Wenn ich das mache komme ich nur wieder auf:
x = z/y
-.-


Zur Linearität: Hmm.. Okay 12 ist nicht Teil von R², deswegen nicht Teil des Definitionsbereichs oder?

Erst multiplizieren und dann abbilden:
L(2*(2,3))
=L(4,6)
= ?
Erst Abbilden, dann multiplizieren:
2*L(2,3)
= 2*L(6)
= ?

Hier komm ich nu wieder nich weiter.. Vermutlich ist die Lösung so einfach aber ich hab hier grad einfach ein Brett vorm Kopf.. :(   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 17:25
Surjektiv:
"Finde ein Paar (x,y) so, dass L(x,y)=z, also x*y=z."
Das ist doch aber schon die Gleichung? Man nimmt ein Paar (x,y) aus R² für das gilt x*y = z aus R. Das ist doch bereits für den gesamten R-Raum zutreffend?

Linear:
Also diese Paare L(1,-2) und L(-1,2) haben den gleichen Funktionswert (-2). Okay da komme ich mit.
"Ein Zahlenpaar geht rein, eine Zahl kommt raus. " ... Hmm....

Wenn ich nun wieder erst multipliziere und dann abbilde:
L(2*(1,-2)
= L(2,-4)
= -8
Und nun erst Abbilde und dann multipliziere:
2*L(1,-2)
=2 * -2
= -4

So?   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 17:45
Erfolgserlebnis :D Oh man... Wie ich bereits dachte: Eigentlich simpel.. Den Ausschlag gab dann wirklich dein Hinweis mit "Ein Paar rein, eine Zahl raus"...
Weil -8 nicht gleich -4 ist, schließe ich nun daraus, dass es sich um keine lineare Abbildung handelt. Also bloß Surjektiv das Ganze.

Nun noch die Surjektivität kapieren...
5,6 ergäbe doch 30 und 30 liegt in R. ?
   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:01
Dann würde ich z.B. 1234212323 / 2 rechnen und würde das Ergebnis für y einsetzen und x = 2 setzen. Das Paar ergäbe dann 1234212323
??   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:15
z = 1/2y ?   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:25
(2, 1234212323 / 2 )
Hier ist x = 2
und y = 1234212323 / 2

Dann allgemein:
(x, z/x) ??   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:58
Also wäre es richtig, wenn ich davor schriebe:
Sei x Element aus R ?

Wenn ich das Muster nehme:
(2, z/2) aber dass ist doch dann wieder nicht allgemein??   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 19:35
Bezog sich das mit der 1 auf: 1/2*z ?

Uff... Ja okay.. So langsam sickert das ein.. Glaube/Hoffe ich zumindest.
Jetzt würde mich nur noch der Beweis für die Injektivität interessieren... O.o

  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 20:07
Mom mir raucht der Kopf... :D

Wie meinst du das mit einem einfahren x?

Wenn ich mir z.b. z = 5 als Paar basteln möchte dann könnte ich das mit x = 1 und y = 5 machen also:
(1,5)

Weil y = z/1 = 5.

So?

Zur Injektivität: Die habe ich doch nur quasi "nicht bewiesen" indem ich gezeigt habe, dass die Geschichte surjektiv ist. Aber da gibt es doch auch wieder eine eigene Beweisform für oder nicht?   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 20:30
Ich sollte für heute Schluss machen. :-D
In meinem OP meinte ich Surjektiv als Antwort.

Der Beweis für die Surjektivität der Aufgabe sah ja nun so aus:

"Zu jedem z (d.h. z ist beliebig vorgegeben) gibt es (x,y) (also von z abhängig) mit L(x,y)=z."
Weil:
x = z/y
y = z/x
Also x,y abhängig von z sind.

Um nun eben z.B auf z = 5 zu kommen:
z.B. mit x = 1 weil (1,z/1) -> 5
bzw.
(1,z) -> 5

oder aber auch mit x = 2:
(2, z/2) -> 5


Weil das ganze nun Surjektiv ist, kann es nicht injektiv sein. Nun war mir nur im Sinn, dass es für die Injektivität auch noch eine eigene Beweisform gibt. Das was ich im OP geschrieben habe ist ja kein mathematischer Beweis sondern nur eine Aussage.

Aber vllt schmeiß ich hier gerade wieder zu viel durcheinander... :D Ich schau mir das nun morgen nochmal in Ruhe an.




  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 21:20

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Such dir ein Gegenbeispiel, für das nicht \(f(v+w)=f(v)+f(w)\) mit \(v,w\in \mathbb{R}^2\) gilt.
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