Eigenschaften von Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 130     Aktiv: 07.06.2021 um 21:31

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Welche Eigenschaft hat die folgende Abbildung?

L: R² --> R; (x,y) --> xy


Surjektiv, Injektiv oder eine lineare Abbildung.

Meine Idee:

Surjektiv. Weil z.B. 1*-2 und -1*2 auf das gleiche Element aus R zeigen. Damit kann's keine injektive Abbildung sein, weil dort ja immer xy auf nur einen Wert abbilden müsste.

Bei der linearen Abbildung bin ich mir nicht sicher. Wie könnte ich das überprüfen?

Hoffe mir kann jemand helfen
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3 Antworten
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Zu "Meine Idee:" Das ist sehr gut und richtig. Zeigt aber, dass L nicht injektiv ist.
Die Frage, ob L surjektiv ist, ist damit noch offen.
Linear: Für Linearität müsste u.a. gelten L(2(x,y))=2L(x,y). Prüfe das nach. Wenn man es widerlegen will, dann am besten mit einem konkreten Gegenbeispiel (so wie bei injektiv).
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Lehrer/Professor, Punkte: 14.12K
 

Also ist die Begründung für die Surjektivität falsch so wie ich die geschrieben habe?

Der für den Nachweis der Surjektivität müsste ich ja y = f(x) lösen oder?
Doofe Frage: Da y ja hier bereits vergeben ist, kann ich mir dann einfach einen anderen Buchstaben heraussuchen?

a = x * y
x = a / y

Kommt mir aber irgendwie falsch vor...

Ich versuchs mal weiter mit der Linearität:
Dort muss dann ja gelten:

1. L(v + w) = L(v) + L(w)
2. L(λv) = λL(v)

Zu 1:

L(x1y1 + x2y2)
= L(x1x2) + L(y1y2)

Zu 2:
L(λ(xy))
= λx * λy
= λL(xy)

Hmm.. Kommt mir irgendwie alles Mist vor was ich hier mache...
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:10

Nun bin ich verwirrt: Du begründest (richtig), dass L nicht injektiv ist. Fragst aber, warum das nicht "nicht surjektiv" begründet? Das sind doch ganz verschiedene Begriffe. Bezeichnungen wie Buchstaben darf man frei wählen, nur keine doppelt vergeben.
Zweite Verwirrung bei mir: Für Linearität hab ich Dir nen Tipp gegeben. Gibt es einen Grund, warum Du es ohne den Tipp machen willst?
  ─   mikn 07.06.2021 um 15:15

Zur 1. Verwirrung: Ups sry.. Falsch verstanden gehabt. ^^

Zu meinem "Nachweis" der Surjektivität: Also stimmt der?

Zur 2. Verwirrung: Das habe ich so meinen Unterlagen entnommen, dass dann diese 2 Fälle gelten müssen. Für andere Aufgaben habe ich so die Lösung hier zumindest stehen.

  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:19

Nachweis der Surjektivität: Du meinst die kommentarlos hingeschriebenen zwei Gleichungen? Das ist kein Nachweis. Überlege genau, was zu zeigen ist. Es ist NIE eine Gleichung zu zeigen, sondern so was wie "für jedes ... gibt es...". Wenn man diesen logischen Rahmen weglässt, wird es nicht klappen.
Die zwei Fälle stimmen. Ich dachte Du wolltest einen Tipp, wie es viel einfacher geht. Überleg Dir wenigstens, was mein Tipp mit den Fällen zu tun hat Dann entscheide wie Du vorgehen willst.
  ─   mikn 07.06.2021 um 15:30

Ugh, ich tue mich einfach schwer mit dem Ganzen gerade mit den Beweisen :(

Zum Nachweis der Surjektivität:
Da stehe ich gerade wirklich auf dem Schlauch...
Für jedes x in R gibt es ein R² für das gilt: x = a / y
??

Zur Linearität:
Ich will ja zeigen, dass es egal ist, ob man erst die Funktion multipliziert und dann abbildet (1), oder erst abbildet und dann multipliziert (2). Oder?
L(2(x,y))=2L(x,y)

Auf der linken Seite gilt 1) und auf der rechten 2).
Wenn ich nun den Vektor (2,3) nehme dann würde so auf der linken Seite stehen:
L(2 (2,3) = L(12)
und auf der rechten Seite:
2(L(2,3) = L(12)

Bin mir hier einfach extrem unsicher ob ich das Konzept hinter allem überhaupt kapier..
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 15:49

Bei Beweisen hilft in GANZ kleinen Schritten vorzugehen. Du machst (wie viele andere auch), gleich mehrere Schritte auf einmal und gerätst, nicht verwunderlich, auf Abwege.
Konkret: Surjektivität: Ein "geteilt durch" kommt (zunächst) gar nicht vor. L ist surjektiv, wenn es zu jedem z aus R (NEUER Buchstabe!!!) ein Paar (x,y) gibt mit L(x,y)=z. z ist vorgegeben, versuche also ein solches Paar zu finden.
Linear: "Ich will ja zeigen....": Das hast Du sehr gut formuliert, das Konzept hast Du also verstanden (das verstehen nicht viele). Und jetzt rechne die beiden Seiten der Gleichung in kleinen Schritten aus. Du machst mehrere auf einmal, daher plötzlich L(12), aber 12 ist gar nicht im Defbereich von L.
Also: L(2*(2,3))=L(...)=...
und 2*L(2,3)=2*... =... und dann vergleichen.
  ─   mikn 07.06.2021 um 16:47

Ich komme mir bei sowas einfach schon regelmäßig total dumm vor.. :D :( Also erst einmal danke für deine Geduld.

" L ist surjektiv, wenn es zu jedem z aus R (NEUER Buchstabe!!!) ein Paar (x,y) gibt mit L(x,y)=z."
Die Abbildung L verwirrt mich einfach irgendwie.. Ich weiß, dass es eig. nix anderes ist, als ein f(x) zwischen den Vektorräumen R und R² (oder?) Aber irgendwie bekomm ich das nicht in meinen Kopf.

Nehme ich nun also z.B.: z = 12
Dann wäre ein passendes Paar: 4*3
Oder auch 6*2.

Wenn ich das so richtig verstanden habe, dann muss ich das jetzt einfach irgendwie allgemein Formulieren.
z = x * y
Und nun hakt es... Aus anderen Aufgaben kenne ich es nun so, dass man das ganze nach x auflöst, und schaut, ob der Ausdruck dann auch für alle R gilt.
Wenn ich das mache komme ich nur wieder auf:
x = z/y
-.-


Zur Linearität: Hmm.. Okay 12 ist nicht Teil von R², deswegen nicht Teil des Definitionsbereichs oder?

Erst multiplizieren und dann abbilden:
L(2*(2,3))
=L(4,6)
= ?
Erst Abbilden, dann multiplizieren:
2*L(2,3)
= 2*L(6)
= ?

Hier komm ich nu wieder nich weiter.. Vermutlich ist die Lösung so einfach aber ich hab hier grad einfach ein Brett vorm Kopf.. :(
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 17:25

Surjektiv: achte auf die Details, das Paar ist nicht 4*3 (das ist nämlich 12 und kein Paar), sondern (4,3). In L(...) dürfen nur Paare stehen. Du hast, das nebenbei, mit den Paaren (4,3) und (6,2) noch ein Beispiel gefunden, dass die Injektivität widerlegt.
Finde ein Paar (x,y) so, dass L(x,y)=z, also x*y=z. Nicht dividieren, sondern daran denken, man kann jedes x und jedes y aus R nehmen, Zahlen oder irgendwas mit z, Hauptsache x*y=z.
Linear: Es scheint, Du hast die Abb. L noch nicht verstanden. Ein Zahlenpaar geht rein, eine Zahl kommt raus. Du hast in Deiner Frage geschrieben: "Weil z.B. 1*-2 und -1*2 auf das gleiche Element aus R zeigen. " "zeigen" ist bildlich, das ist ok. rechnerisch/formal heißt das "haben den gleichen Funktionswert". In diesem Fall L(1,-2)=L(-1,2)=-2. Kannst Du damit Deine letzten Linearitätsversuche korrigieren/ergänzen?
  ─   mikn 07.06.2021 um 17:35

Surjektiv:
"Finde ein Paar (x,y) so, dass L(x,y)=z, also x*y=z."
Das ist doch aber schon die Gleichung? Man nimmt ein Paar (x,y) aus R² für das gilt x*y = z aus R. Das ist doch bereits für den gesamten R-Raum zutreffend?

Linear:
Also diese Paare L(1,-2) und L(-1,2) haben den gleichen Funktionswert (-2). Okay da komme ich mit.
"Ein Zahlenpaar geht rein, eine Zahl kommt raus. " ... Hmm....

Wenn ich nun wieder erst multipliziere und dann abbilde:
L(2*(1,-2)
= L(2,-4)
= -8
Und nun erst Abbilde und dann multipliziere:
2*L(1,-2)
=2 * -2
= -4

So?
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 17:45

Surjektiv: Nein, L(x,y)= x*y und das ist x*y und nicht z. "Man nimmt ein Paar (x,y)....": Ja, aber welches denn? Behaupten kann das jeder. Man muss nachweisen, dass es so eins gibt. Beispiel: Das Paar (5,6) liefert nicht z, das Paar (z^2,7) auch nicht. Probier mal was aus.
Linear: Ja, gut. Und was schließt Du daraus?
  ─   mikn 07.06.2021 um 17:52

Erfolgserlebnis :D Oh man... Wie ich bereits dachte: Eigentlich simpel.. Den Ausschlag gab dann wirklich dein Hinweis mit "Ein Paar rein, eine Zahl raus"...
Weil -8 nicht gleich -4 ist, schließe ich nun daraus, dass es sich um keine lineare Abbildung handelt. Also bloß Surjektiv das Ganze.

Nun noch die Surjektivität kapieren...
5,6 ergäbe doch 30 und 30 liegt in R. ?
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:01

Gut, linear haben wir.
Surjektiv: Ja, 30 ist in der Bildmenge, aus der Rechnung für linear wissen wir: -4 und -8 auch. Das sind drei Zahlen von unendlich vielen z's, die geprüft werden müssen. Etwas mühselig auf diesem Weg.... Wenn Dir jemand ein z nennt, wie kannst Du ihm dann ein Paar (x,y) finden mit x*y=z? Wenn ich Dir 1234212323=z nenne, was machst Du dann?
  ─   mikn 07.06.2021 um 18:06

Dann würde ich z.B. 1234212323 / 2 rechnen und würde das Ergebnis für y einsetzen und x = 2 setzen. Das Paar ergäbe dann 1234212323
??
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:15

Aha, gut also das Paar wäre (2, 1234212323 / 2 ). Und allgemein mit z? Und, weil wir's ja einfach haben wollen, noch ein Tipp: Es ist nicht verboten die 1 zu benutzen.   ─   mikn 07.06.2021 um 18:19

z = 1/2y ?   ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:25

Wir brauchen ein Paar...   ─   mikn 07.06.2021 um 18:52

(2, 1234212323 / 2 )
Hier ist x = 2
und y = 1234212323 / 2

Dann allgemein:
(x, z/x) ??
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 18:58

Nein, es darf nur von konkreten Zahlen und z abhängen. Wenn Du neue einführst, wie x, musst Du sagen, was x ist. Setz doch das Muster mit 1234.... allgemein um.   ─   mikn 07.06.2021 um 19:32

Also wäre es richtig, wenn ich davor schriebe:
Sei x Element aus R ?

Wenn ich das Muster nehme:
(2, z/2) aber dass ist doch dann wieder nicht allgemein??
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 19:35

(2,z/2) tut es. Hast Du meinen Tipp mit der 1 verstanden?
Hast Du surjektiv verstanden? Zu jedem z (d.h. z ist beliebig vorgegeben) gibt es (x,y) (also von z abhängig) mit L(x,y)=z.
Wenn Du das verstanden hast, hast Du heute viel gelernt. Die Begriffe kommen noch öfter vor.
Noch ein Tipp: Hänge ne halbe Stunde dran und löse dieselbe Frage für die Beispiele:
f(x,y)=x+y^2, g(x,y)=(x, y^2), h(x)=(x,x^2,x^3). Das dauert etwas, aber glaub mir: Danach wirst du nie wieder über diese Begriffe groß nachdenken müssen.
  ─   mikn 07.06.2021 um 19:43

Bezog sich das mit der 1 auf: 1/2*z ?

Uff... Ja okay.. So langsam sickert das ein.. Glaube/Hoffe ich zumindest.
Jetzt würde mich nur noch der Beweis für die Injektivität interessieren... O.o

  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 20:07

zur 1: Du hast Dir doch ein Paar (x,y) mit x=2 gebastelt und gesehen, dass dann y=z/2 sein muss. Das geht auch mit nem einfacheren x.
Injektivität: Das war jetzt nicht ernst, oder? Das hast Du doch ganz ganz oben schon selbst erledigt. Und zwischendurch noch ein zweites Mal.
  ─   mikn 07.06.2021 um 20:12

Mom mir raucht der Kopf... :D

Wie meinst du das mit einem einfahren x?

Wenn ich mir z.b. z = 5 als Paar basteln möchte dann könnte ich das mit x = 1 und y = 5 machen also:
(1,5)

Weil y = z/1 = 5.

So?

Zur Injektivität: Die habe ich doch nur quasi "nicht bewiesen" indem ich gezeigt habe, dass die Geschichte surjektiv ist. Aber da gibt es doch auch wieder eine eigene Beweisform für oder nicht?
  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 20:30

lies einfach meine antwort weiter unten.   ─   anonym 07.06.2021 um 20:32

Ohje, Du bist stehend k.o.. Surjektiv: Wir müssen auf z kommen. Wir wissen (2,z/2)-> z, es geht auch (1,z)->z. Es geht natürlich auch (pi,z/pi), wer's komplizierter mag.
Injektiv: In Deiner Original-Frage hast Du "nicht injektiv" nachgewiesen, bloß die falsche Überschrift drüber, nämlich "surjektiv".
  ─   mikn 07.06.2021 um 20:35

Ich sollte für heute Schluss machen. :-D
In meinem OP meinte ich Surjektiv als Antwort.

Der Beweis für die Surjektivität der Aufgabe sah ja nun so aus:

"Zu jedem z (d.h. z ist beliebig vorgegeben) gibt es (x,y) (also von z abhängig) mit L(x,y)=z."
Weil:
x = z/y
y = z/x
Also x,y abhängig von z sind.

Um nun eben z.B auf z = 5 zu kommen:
z.B. mit x = 1 weil (1,z/1) -> 5
bzw.
(1,z) -> 5

oder aber auch mit x = 2:
(2, z/2) -> 5


Weil das ganze nun Surjektiv ist, kann es nicht injektiv sein. Nun war mir nur im Sinn, dass es für die Injektivität auch noch eine eigene Beweisform gibt. Das was ich im OP geschrieben habe ist ja kein mathematischer Beweis sondern nur eine Aussage.

Aber vllt schmeiß ich hier gerade wieder zu viel durcheinander... :D Ich schau mir das nun morgen nochmal in Ruhe an.




  ─   user05d7d4 07.06.2021 um 21:20

Nein, besser morgen. Bei surjektiv musst Du auf z kommen. Das hatten wir schon mit Deinem (2,z/2). Mehr braucht man da nicht.
Surjektiv hat mit injektiv NICHTS zu tun. Das eine kann daher nicht als Begründung für das andere herhalten.
Deine Argumentation im OP, mit der Du auf "nicht injektiv" kommst, ist für mich als Beweis völlig akzeptabel. Sagte ich ja direkt. Nach diesem Muster kannst Du generell "injektiv" widerlegen (Beweisform "Gegenbeispiel").
  ─   mikn 07.06.2021 um 21:26

Nochmal surjektiv: Sei z aus R. Dann L(2,z/2)=z, also z in der Bildmenge, also Bildmenge =R, also surjektiv. Fertig.
Injektiv: Nicht erfüllt, weil L(1,-2)=L(-1,2), aber (1,-2) ungleich (-1,2).
Linear: Nicht erfüllt, da L(2*(1,-2)) =-8 ungleich -4 = 2*L(-1,2)
Das ist Zusammenfassung des Abends. Wichtig ist, dass Du es verstanden hast.
  ─   mikn 07.06.2021 um 21:31

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Injektivität sieht man sehr schnell, denn \( (1,0)\mapsto 0\) und \( (0,1) \mapsto 0\). D.h. \( L\) ist nicht injektiv.
 
Surjekvitität siehst du so: Die Abbildung \( L'\colon \mathbb{R}\times\{1\} \to \mathbb{R},\ (x,1) \mapsto x\) ist ganz offensichtlich surjektiv.
 
Somit existiert für deine Abbildung \(L\) stets zu jedem \( y \in \mathbb{R}\) im Urbild \(L^{-1}(\{y\})\) mindestens ein Element, die Urbildmenge für ein beliebiges \( y\) im Zielbereich \(\mathbb{R}\) ist also nichtleer. Daraus folgt Surjekvitität.
 
Mit anderen Worten: Nimm ein beliebiges \( y \in \mathbb{R}\), dann findest du mit \( (y,1)\) immer mindestens ein Urbild. Mehr brauchst du nicht. Genau genommen findest du immer mindestens zwei Urbilder, nämlich \( (y,1)\) und \( (1,y)\). Aber eins reicht bereits.
 
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Such dir ein Gegenbeispiel, für das nicht \(f(v+w)=f(v)+f(w)\) mit \(v,w\in \mathbb{R}^2\) gilt.
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