Der entscheidende Punkt ist ja, dass die Teilmenge dann eine Abbildung ist, wenn es zu jedem `a in A` genau ein `b` gibt, so dass `(a,b)` in der angegebenen Menge liegt.

Bei 1.: Wenn A außer `a_0` noch ein anderes Element `a_1` besitzt, dann liegen sowohl `(a_1,a_1)` als auch `(a_1,a_0)` in der Teilmenge. Das erste, weil es in `Delta_A` liegt, das zweite, weil es in `A times {a_0}` liegt.

Bei 2: Wegen der Schnittmengenbildung liegt nur `(a_0,a_0)` in A. Da jedes Element von A als linkes Element vorkommen muss, ist auch das nur dann eine Abbildung, wenn A nur das eine Element `a_0` enthält.

Bei 3: Das ist immer eine Abbildung, da `Delta_A` eine Abbildung ist (die Identität) und `(a_0,a_0)` sowieso schon in `Delta_A` enthalten ist.

Ok, nehmen wir mal \( \Delta_A = \{(a,a)| a\in A\}\). Dann ist in der zweiten Zeile der Löung von 1. ein kleiner Schreibfehler.

Ansonsten: "Abbildung" bedeutet dasselbe wie "Funktion". Es darf einem x-Wert nur maximal ein y-Wert zugeordnet werden. Paare der Form (x,y) und (x,z) mit y ungleich z sind nicht zulässig. Solche kommen aber in 1. vor, z.B. (a1,a1) und (a1,a0). Fall 1 ist daher keine Abbildung. Es sei denn A={a_0} (bei nur einem Element gibt es keine Kollisionen).

In 2. und 3. gibt es keine Kollisionen, sind beide Abbildungen, in 2. auch unabhängig von A.