Verkettung von gebrochen rationalen Funktionen

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Wie kann man am besten zeigen, dass die Verkettung von zwei gebrochen rationalen Funktionen wieder eine gebrochen rationale Funktion ist?

Edit:
Habe für den wohl etwas einfacheren Fall, dass die Verkettung zweier Polynome wieder ein Polynom ergibt folgendermaßen argumentiert. Kann man das so machen?

*in der letzten Zeile sollten die Koeffizienten natürlich \(z_1\) und \(z_0\) sein, nicht \(s_1\) und \(s_0\).
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Ja, kann man so machen. Mit dem Summenzeichen würde es übersichtlicher werden.
Für rationale Funktion kann man es genauso machen. Am einfachsten vielleicht so:
Zeige zuerst, dass \(p\circ g\) rational ist, wenn \(p\) ein Polynom ist und \(g\) rational. Das geht genau analog zu Polynom \(\circ\) Polynom.
Dieses Ergebnis wendest Du im Falle \(f\) rational zweimal an, einmal für \(p\) als Zählerpolynom von \(f\), dann als Nennerpolynom.
\(f\circ g\) ist dann der Quotient der beiden und wenn man voraussetzen kann, dass der Quotient zweier rationaler Funktionen wieder rational ist, ist man fertig.
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