Beweisen von Gesetzten im Vektorbereich

Aufrufe: 343     Aktiv: 30.10.2023 um 22:53

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Guten Tag,

ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. 
Ersmal beginnen wir mit a.), b.), c.) bevor ich mir die anderen Aufgaben anschaue.

Da ich bei a, b, c mir sehr sicher bin das es falsch bin, benötige ich unbedingt hilfe.

Aufgabenstellung:



Lösung:

EDIT vom 28.10.2023 um 11:19:



Also in der Aufgabenstellung steht bezüglich der Addition? Fragen stehen offen.

EDIT vom 28.10.2023 um 17:51:

Diese Bedeutung ist doch Kommutativgesetz:



Und das ist das Assoziativgesetz:

EDIT vom 29.10.2023 um 23:36:


So ist das besser?

EDIT vom 30.10.2023 um 19:43:

Aufgabe f.)

EDIT vom 30.10.2023 um 20:53:


So passt das jetzt mit Aufgabe f?

EDIT vom 30.10.2023 um 21:08:


Wie sieht es jetzt aus?
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gefragt

Student, Punkte: 628

 

Wieso werden alle Fragen beantwortet aber nicht meine. Mach ich irgendwas falsch? Bitte um eine Antwort...   ─   ceko 25.10.2023 um 20:28
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1 Antwort
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Zu a) Hier ist die Aufgabe verwirrend gestellt. Das "w=" gehört weg!
Also, es ist zum ersten zu zeigen: \(x \oplus  y > 0\). Da rechnet man einfach mit der linken Seite los:
\(x \oplus  y = x \cdot y \)
Da x>0 und y>0 ist, \(x \cdot y>0 \), also
\(x \oplus  y >0\)
Fertig!

Die zweite Aussage funktioniert nach dem gleichen Schema: Mit der linken Seite losrechnen, Definition von "\(\odot\)" verwenden, und ausnutzen, das x>0.

Bei b) steht bei Dir das Kommutativgesetz hingeschrieben, es soll aber bewiesen werden.
Hier rechnet man am besten die linke und rechte Seite aus und vergleicht dann:
Linke Seite: \(x \oplus  y = x \cdot y \)
Rechte Seite: \(y \oplus  x = y \cdot x \)
Da \(x \cdot y = y \cdot x\), folgt "linke Seite=rechte Seite", also \(x \oplus  y = y \oplus  x \).

Das Assoziativgesetz hast Du falsch hingeschreiben. Es lautet: \((x \oplus  y) \oplus z = (x \oplus  (y \oplus z)\) für alle x,y,z>0
Das lässt sich mit dem gleichen Schema beweisen wie das Kommutativgesetz.

Bei c) ist das neutrale Element nicht 0, sondern 1.
Um das zu zeigen, muss man zeigen: \(1 \oplus x =  x\) und \(x \oplus 1 =  x\).
Hier die Definition von "\(\oplus\)" einsetzen liefert den Beweis.

Wenn noch was unklar ist, bitte melden!
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Punkte: 2.25K

 

Guten Tag,

Es tut es mir leid für diese späte Rückmeldung. Ich brauch halt länger fürs verstehen und dazu habe ich erst neulich mein Fach-Abitur gemacht. Soll halt keine Ausrede sein aber ich muss mich erst so richtig mit diesen neuen Schreibweisen zurecht finden .

Ich habe versucht so gut wie möglich meine Probleme zu schildern. Ich wäre Ihnen sehr Dankbar wenn Sie sich die Zeit nehmen und dem auf den Grund gehen.

1.) Unklarheit
ich verstehe nicht wieso '1' ein neutrales Element sein soll. (Siehe mein Edit an) meine Professorin schreibt in das Skript das ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition gilt und das ein neutrales Element 1 bezüglich der * gilt, macht ja auch Sinn.
Also wieso benutzen Sie 1 in Bezug auf die Addition und meinen das es ein neutrales Element sei?

2.) Unklarheit
Ich habe bei Aufgabe a.) den beweis von x + y > 0 verstanden, jedoch bleibt die Frage offen wieso $\lambda * x > 0$ ist. Ich mein das dazwischen ist ein Operator für eine Multiplikation, also wird hier nur eine Zahl jeweils mit einer anderen Zahl multipliziert. Und da $\lambda \in \mathbb {R} $ wobei jedoch $x$ $\in$ $\mathbb {R}^{+}$ ist, kann halt x * $\lambda$ als Ergebnis positiv oder negativ sein.

Soll ich mich dann $\lambda$ auf $\mathbb {R}{+}$ beschränken und meinen, wenn $\lambda > 0$ und x > 0 dann x * y > 0?

Weil nehmen wir als Beispiel: $\lambda$ = -1, da $\lambda \in \mathbb {R} $ (gehört ja zu den positiven sowie negativen Reelen zahlen), dann wird jede Zahl von x mit Lambda multipliziert und daraus folgt das Automatisch eine Negative Zahl als Ergebnis rauskommt.

Oder Ich benutze einfach die Definitionen oben genannt.

$\lambda * x = x^{\lambda}$, da $x \in \mathbb {R}^{+} $ so ist doch $x^{-\infty} = \frac {1} {x^{\infty}}$.


  ─   ceko 28.10.2023 um 11:19

Zur Unklarheit 1):
Bei der Addition "+" ist 0 das neutrale Element. Allerdings ist "(\oplus\)" hier nicht die Addition im herkömmtichen Sinn, sondern die Multiplikation "\(\cdot\)" im herkömmlichen Sinn. Drum ist das neutrale Element von "\(\oplus\)" nicht die 0 im herkömmlichen Sinn, sondern die 1 im herkömmlichen Sinn.

Zur Unklarheit 2):
Es ist ja x>0. Für alle x>0 und für alle \(\lambda\in\mathbb{R}\) gilt: \(x^{\lambda}>0\), denn \(x^{\lambda}\) ist definiert als \(\displaystyle e^{\lambda \ln x}\), und "e hoch was Reelles" ist immer größer 0.
  ─   m.simon.539 28.10.2023 um 13:34

So Unklarheit 2.)
habe ich nun auch verstanden.

Unklarheit 1.)
Ich bin jetzt verwirrt.
$\oplus$ : Wieso ist das die Multiplikation im herkömmlichen Sinne? Meine Professorin hat diesen Ausdruckt ganz normal als Addition behandelt.
ⵙ: Was ist dann genau diese Bezeichnung? Ich schicke Ihnen mal die Aufschriebe rein von meinem Professor.
  ─   ceko 28.10.2023 um 17:49

Schau doch einfach in die Aufgabenstellung, wie die Operation definiert ist. Das hat mit dem anderen Beispiel NICHTS zu tun.   ─   cauchy 28.10.2023 um 19:07

Achso, jetzt habe ich es verstanden. Ich hätte direkt mit den Definition arbeiten. Dann haben sich alle Punkte geklärt. ich hab a, b, c verstanden.

Also ich soll jetzt bei der nächsten Aufgabe ein inverse angeben. ein inverse ist a + (-a) = 0. So ist doch bei x * y = 1 das Neutrale Element. Das bedeutet ich muss, um das inverse Element rausbekommen für alle x im Realen: $x = \frac {1} {y}$ machen? Also $x = y^{-1}$ ist das inverse Element?
  ─   ceko 28.10.2023 um 22:19

Ein bisschen verwirrend aufgeschrieben, aber ja: Das Inverse zu x bezüglich "\(\oplus\)" ist \(x^{-1}\).   ─   m.simon.539 28.10.2023 um 22:29

Achso, Sie haben x * x = 1 gerechnet. ist jetzt die Lösung zu d.) x = y^{-1} oder $x^{-1}$?   ─   ceko 28.10.2023 um 22:46

Ich verstehe nicht was bei e.) f.) g.) von mir verlangt wird. Soll ich das Assoziativ und Kommutativ Gesetz nochmals hinschreiben? Eigentlich steht es dort schon.   ─   ceko 28.10.2023 um 22:52

Du sollst es anhand der Definitionen "nachrechnen". Solche Aufgaben sind an sich nur Schreibübungen.   ─   cauchy 29.10.2023 um 00:50

Ich verstehe nicht was ich machen soll wenn e.) gilt.ich könnte es höchstens definieren mit den Aufschrieben in den Vorlesungen. Mehr auch nicht.

Also soll ich das bei den Definition genauso definieren wie bei Aufgabe e.). Was gibt es den Anhand der Definition nachzurechnen in dem fall was für e.) gilt?
  ─   ceko 29.10.2023 um 19:56

Du sollst zeigen, dass die Gleichung gilt. Lies die Aufgabe richtig.   ─   cauchy 29.10.2023 um 21:01

So das was ich nun geschrieben habe sollte doch jetzt passen?   ─   ceko 29.10.2023 um 23:37

Also wenn mein neuer Edit nicht passt und dafür habe ich wirklich echt lange nachgedacht. Dann weiß ich aber wirklich nicht mehr   ─   ceko 29.10.2023 um 23:37

Ja, passt. Man muss hier aber nicht mit einer Äquivalenz arbeiten. Schöner und sauberer ist es, wenn man mit der linken Seite anfängt und umformt, bis die rechte Seite da steht.   ─   cauchy 30.10.2023 um 02:24

Okey perfekt. Wie sieht es mit der Aufgabe f.) aus? siehe edit an   ─   ceko 30.10.2023 um 19:43

Falsch. Wende bitte die richtige Definition der Verknüpfung an.   ─   cauchy 30.10.2023 um 20:12

Wie sieht es jetzt aus mit Aufgabe f.)?   ─   ceko 30.10.2023 um 20:53

Noch schlimmer. Warum hältst du dich nicht an die Definition?   ─   cauchy 30.10.2023 um 20:59

Wie sieht es jetzt aus mit Aufgabe f.) Das muss doch jetzt richtig sein   ─   ceko 30.10.2023 um 21:09

Warum nicht gleich so? Passt.   ─   cauchy 30.10.2023 um 22:45

Ja perfekt. Hab jetzt den ganzen Sinn verstanden und was man mit den neu definierten Definitionen von mir eigentlich ab verlangt hat.   ─   ceko 30.10.2023 um 22:50

Vielen Dank!!!   ─   ceko 30.10.2023 um 22:53

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