Intregation durch Substitution (unbestimmtes integral)

Aufrufe: 709     Aktiv: 28.01.2020 um 20:26

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Hallo, hierbei wird zum Berechnen keine spezielle Formel verwendet, man braucht nur ein bisschen Übung im Substituieren.

Wir wollen \(\int \tan^3(x)\, \mathrm dx\) berechnen.

a) Wir setzen das Gegebene ein:

\(\int (\tan x)^3\, \mathrm dx=\int u^3\, \frac{\mathrm du}{1+u^2}=\int\frac{u^3}{1+u^2}\,\mathrm du=\dots=\frac{u^2-\ln|u^2-1|}{2}+C=\frac{(\tan x)^2-\ln|(\tan x)^2-1|}{2}+C\)

siehe für Zwischenschritte:
https://www.integralrechner.de/#expr=u%5E3%2F%281%2Bu%5E2%29&intvar=u

b) Wir setzen das Gegebene ein:

\(\int (\tan x)^3\, \mathrm dx=\int (\frac{\sin x}{\cos x})^3\, \mathrm dx=\int (\frac{\sqrt{1-u^2}}{u})^3\cdot (-\frac{\mathrm du}{\sqrt{1-u^2}})=-\int \frac{1-u^2}{u^3}\,\mathrm du=\int \frac{1}{u}-\frac{1}{u^3}\,\mathrm du=\ln|u|+\frac{1}{2u^2}+C=\ln|\cos x|+\frac{1}{2(\cos x)^2}+C\)

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