Beweis den Nullstellensatz mit Hilfe des brouwerschen Fixpunktsatzen

Aufrufe: 509     Aktiv: 09.08.2022 um 22:44
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Guten Tag :),

Ziel ist es mit dem Fixpunktsatz von Brouwer (im eindimensionalen) den Zwischenwertsatz bzw. den Nullstellensatz zu zeigen.
 
Wenn erlaubt folgt nun einfach der Ausschnitt aus der Quelle: Wobei Satz 1 als Nullstellensatz so formuliert ist:
 
Sei $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion mit $g(0) \leq 0 \leq g(1)$. Dann gibt es ein $\zeta \in [0,1]$ mit $f(\zeta)=0$
 
Satz 2:
Sei $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ eine stetige Funktion. Dann gibt es ein $\zeta \in [0,1]$ mit  $f(\zeta)=\zeta$
 
Nun der Beweis: 
 
Schwierigkeiten habe ich die gelbe Aussage nachzuvollziehen. Wieso ist das Maximum von $\lambda$ nicht immer $\frac{1-b}{m}$, wenn $b \leq 1$. Wie mikn bereits angemerkt hat?

EDIT vom 09.08.2022 um 15:44:

Edit: Abbildung 3

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Ich denke, dass hier eine Fallunterscheidung nach \( g(x) \) gemeint ist.

Wenn \( g(x) \ge 0 \) ist, dann muss \( x > a \) sein und wir erhalten
\( f(x) = x+\lambda g(x) \) \( \ge x + (- \frac{a}{M}) g(x) \) \( \ge x + (-\frac{a}{M})M \) \( = x-a > 0 \).
Außerdem gilt dann
\( f(x) = x+\lambda g(x) \le x \le 1 \).

Wenn \( g(x) \le 0 \) ist, dann muss \( x < b \) sein und wir erhalten
\( f(x) = x+ \lambda g(x) \) \( \le x + \frac{1-b}{m}g(x) \) \( \le x + \frac{1-b}{m}m \) \( = x+1-b < 1 \).
Außerdem gilt dann
\( f(x) = x +\lambda g(x) \ge x \ge 0 \).
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Oh ja! Ich wäre aber mal gespannt aus welchen Buch dieser Text, durch die Formulierung nach Definition über Maximum es scheint, der Autor möchte Leser verwirren?   ─   mathejean 09.08.2022 um 21:22
Ich meine der Autor schreibt, man solle Fallunterscheidungen machen gleich nach der Definition von etwas über Maximum (was per Fallunterscheidungen definiert ist). Ich bin kein Didaktiker, aber wie wir sehen sind wir drauf rein gefallen eine Fallunterscheidung nicht nur über x sondern auch das Maximum zu machen   ─   mathejean 09.08.2022 um 21:27
Ja es ist kein Fehler, aber in eine Lehrbuch so etwas finde ich nicht gut   ─   mathejean 09.08.2022 um 21:29
Ich danke euch für die große Hilfe!   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 22:44

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Wir können \(m\) und \(M\) so wählen, dass \(m=-M\) ist. Dann ist \(\lambda =\max \{-\frac aM, \frac{b-1}M\}\), jetzt sind man besser
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ah okay, das leuchtet mir ein. Nun habe ich dennoch Problem zu sehen wieso f von [0,1] auf [0,1] abbilden soll. Betrachte ich zum Beispiel: $f(0)=0+\lambda g(0)$ und $g(0) <0$ da $\lambda$ ebenfalls negativ ist addiere ich also irgendwas auf die $0$ aber woher weiß ich, dass das was ich addiere kleiner als $1$ ist, sonst bin ich außerhalb des Intervalls.   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 15:21
Ja das ist eine technische Spielerei (so wurde eben \(\lambda\) definiert) , ich glaube in Abbildung 3 man sieht es visuell. Wie wäre es wenn du einfach Abbildung anschaust und dann versuchst die Fallunterscheidung zu machen?   ─   mathejean 09.08.2022 um 15:32
Leider erkenne ich in Abb. 3 keine Fälle. Ich werde die Abbildung dem ursprünglichen Post hinzufügen. Was wäre denn ein Fall?   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 15:42
Erstmal haben wir die Fälle \(-a \geq b-1\) und umgekehrt. Dann man noch schauen wo \(x\) liegt   ─   mathejean 09.08.2022 um 16:12
Danke für die Hilfe. Dazu habe ich noch eine Frage, kann ich also $a $und $b$ nicht so wählen, dass das $\lambda$ zu groß wird? Liegt das daran, dass ich das $M$ entsprechend noch größer wählen kann?   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 16:43
@mathejean: Ich habe also den Fall 1: $-a \geq b-1$ und Fall 2: $-a < b-1$

Innerhalb dieser Fälle betrachte ich dann die Fälle i) $0 \leq x \leq a$ und ii) $ b \leq x \leq 1$ sind die Fälle so richtig?   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 16:53
@ cauchy Das habe ich die ganze Zeit übersehen. Das liegt an dem Definitionsbereich von g oder? Danke   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 16:56
Was mich verwirrt hat ist, warum $x+\lambda g(x)$ nicht kleiner als 0 oder größer als 1 sein kann. Betrachte ich $f(0,2)=0,2+\lambda g(0,2)$ Je nachdem wie a und b gewählt sind ist $g(0,2)$ positiv oder negativ. Aber wieso kann für $\lambda g(0,2)$ nicht $0,9$ rauskommen oder $-0,3$   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 17:18

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Mach halt die Fallunterscheidungen. Es sei $\lambda=-\frac{a}{M}$ und $g(x)\geq 0$, also insbesondere $x>a$. Dann gilt $f(x)=x+\lambda g(x)=x-\frac{a}{M}\cdot g(x)\geq x-\frac{a}{M}\cdot M=x-a> 0$. Da $0\leq g(x)\leq M$ und $x>a$ gelten, funktionieren die beiden Abschätzungen nach unten. Analog sollten die anderen Fälle funktionieren.
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Ist noch "der Wurm" drin, weil $x \leq a$ und es dadurch nicht größer gleich Null wäre?   ─   walterfrosch 09.08.2022 um 18:32

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.