Winkel zwischen zwei Vektoren

Aufrufe: 903     Aktiv: 26.09.2020 um 15:38
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Lassen wir bei Gerade g das r als Parameter und setzen wir bei h statt r eben s ein. Dann ergibt sich dasselbe Gleichungssystem wie bei dir, indem aber die erste Spalte für r steht und die zweite eben für s. Die Lösung besagt dann folgendes: 

1. Zeile: 1r + 0s = 2

2. Zeile: 0r + 1s = 1

3. Zeile: 0r + 0s = 0

Daraus folgt ja logischerweise: r = 2 und s= 1

Zurück zu den zwei Geraden:

g: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) \)

h: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -8 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \)

Jetzt kann man eben r in g und/oder s in h einsetzen, um den Schnittpunkt S zu bekommen:

mit g:  \( \vec{s}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) + 2 \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) \) = \( \left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) \)

mit h:  \( \vec{s}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -8 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \) =\( \left(\begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right) \)

Kommst du damit nun klar? :-)

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Vielen Dank! Jetzt habe ich das verstanden. Hab’s auch selbst nochmal nachgerechnet und bin aufs gleiche Ergebnis gekommen. Den Fehler mache ich sicherlich nie wieder ;)
Werde mich gleich noch an den Winkeln versuchen   ─   sunnyy 26.09.2020 um 12:50
Habe jetzt alle Schnittpunkte 🥳
Ich bin mir gerade so unsicher wie ich die Vektoren a und b in diesem Fall berechne. Könntest du mir das bitte nochmal zeigen?   ─   sunnyy 26.09.2020 um 13:35
Die Vektoren a und b, die in die Formel zur Winkelberechnung einzusetzen sind, sind einfach nur die beiden Richtungsvektoren der Geraden. Also bei Aufgabe a) (1; 1; -2) und (2; 0; 3). :-)   ─   andima 26.09.2020 um 13:46
Natürlich! Wie konnte ich das vergessen... Danke!   ─   sunnyy 26.09.2020 um 14:40
Habe jetzt mal versucht den Winkel zu berechnen. Bin ich auf dem richtigen Weg? Habe den Rechenweg oben hochgeladen   ─   sunnyy 26.09.2020 um 14:41
Das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine Zahl! In diesem Fall -4. Der Betrag von -4 ist +4. Der Betrag von Zahlen ist immer der Abstand der Zahl zur 0. Hier brauchst du also nicht wie bei Vektoren den Betrag berechnen, das ist nicht nötig. Hätte aber funktioniert, wenn du die -4 unter der Wurzel quadriert hättest (was man ja beim Betrag von Vektoren immer macht).
Die Beträge der Vektoren hast du richtig gerechnet, allerdings würde ich nicht runden, sondern mit den Wurzeln weiterrechnen, dann wird das Ergebnis genauer. :-)   ─   andima 26.09.2020 um 15:01
Ahh okay :) Im Taschenrechner habe ich die ganzen Zahlen genutzt.
Also wäre mein Ergebnis dann 4/8,78? Und somit 0.455
Was bedeutet dies für den gesuchten Winkel?   ─   sunnyy 26.09.2020 um 15:12
Das heißt: cos alpha=0,455.
Nach Alpha löst du auf, indem du die Gleichung mit der Umkehrfunktion von cos umformst, also mit arccos oder cos^-1.
Alpha=cos^-1(0,455).
Taschenrechner bitte auf Degree einstellen! :-)   ─   andima 26.09.2020 um 15:22
Ahhhh. Ich bekomme bei cos^-1 = 62,93 raus. Also folglich ist der Winkel bei a.) = ca. 63 Grad, ist das korrekt? :)   ─   sunnyy 26.09.2020 um 15:29
Genau. Und hättest du mit exakten Werten gerechnet, also die Wurzeln nicht gerundet, dann wären es 63,07 Grad. :-)   ─   andima 26.09.2020 um 15:33
Ich habe dir zu danken, andima! Toll, dass du die Ruhe hattest und dir die Mühe gemacht hast mir das genau zu erklären. Das hätte ich allein niemals hinbekommen :)   ─   sunnyy 26.09.2020 um 15:37
Gern geschehen! :-)   ─   andima 26.09.2020 um 15:38

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Moin Theresa.

Den Schnittpunkt kannst du durch Gleichsetzen bestimmen. Für den Winkel brauchst du nur die Definition.

Es gilt: \(\cos\alpha=\dfrac{\vert\vec{a}\cdot \vec{b}\vert}{\vert\vec{a}\vert\cdot \vert\vec{b}\vert}\)

 

Grüße

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Danke für die schnelle Rückmeldung!
Ich habe jetzt den Schnittpunkt für a.) errechnet. Der müsste bei (2|1|0) liegen, wenn ich richtig gerechnet habe.
Bei der Formel habe ich Probleme. Ich bin mir nicht sicher wie ich den Betrag aus Vektor a und b berechne und wo genau der Unterschied zwischen |a * b| und |a| * |b| liegt. Vielleicht kannst du mir da nochmal einen Tipp geben?   ─   sunnyy 26.09.2020 um 10:40
Der Schnittpunkt stimmt leider nicht, der müsste liegen bei \(S(5,4,-5)\). Dein angegebener Schnittpunkt liegt auf keiner der Geraden. Lade doch einmal deinen Rechenweg hoch, dann können wir den Fehler suchen!
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Es gilt: \(\vert \vec{a}\vert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^3}\)
Im Zähler bildest du erst das Skalarprodukt und nimmst am Ende den Betrag, im Nenner berechnest du erst die Beträge und multiplizierst diese danach.   ─   1+2=3 26.09.2020 um 11:01
Schade, dann hab ich mich wohl vertan :(
Habe meinen Rechenweg hochgeladen. Hoffe das ist erkennbar. Die Erklärung zum Winkelberechnen ist sehr verständlich. Danke! Da stand ich auf dem Schlauch. Wenn der Fehler beim SP gefunden ist, dann komme ich bestimmt weiter   ─   sunnyy 26.09.2020 um 11:10
Du benutzt bei beiden Geraden als Variable vor den Richtungsvektoren \(r\), das ist so nicht richtig! Du musst verschiedene Variablen benutzen!   ─   1+2=3 26.09.2020 um 11:15
Ist richtig ... das mit den Variablen ... aber hier nicht der Fehler, da sie es nicht zusammengefasst hat. Der Fehler ist die falsche Interpretation der Lösungsmatrix :-)   ─   andima 26.09.2020 um 11:22
Hm, für beide Geraden die selben Variablen zu nutzen habe ich so noch nie gesehen... Wieso genau darf man das hier machen? Die Richtungsvektoren sind doch verschieden.   ─   1+2=3 26.09.2020 um 11:25
Das mit der Variable mache ich immer falsch. Ist dann aber eher ein formeller Fehler denke ich? Im Buch steht ja auch s und r
Was meinst du mit Lösungsmatrix falsch interpretiert? :o   ─   sunnyy 26.09.2020 um 11:29
@1+2=3: Nein ... :-) ich meinte, es ist richtig, was du meintest mit den Variablen, also dass man unterschiedliche wählen muss. Aber der Fehler hier resultiert nicht daraus, dass es nicht gemacht wurde, da r und r nicht zusammengefasst wurde. :-) Sorry für die schlechte Audrucksweise.   ─   andima 26.09.2020 um 11:54
Die Lösungsmatrix gibt nicht den Schnittpunkt an, sondern die Parameter für die man den Schnittpunkt erhält. Die erste Zeile steht für r=2 und die zweite für s=1. Mit diesen Parametern kannst du in den Geradengleichungen den Schnittpunkt berechnen. :-)   ─   andima 26.09.2020 um 11:56
Ah, dann ergibt das jetzt alles Sinn ;)   ─   1+2=3 26.09.2020 um 12:00
Auweia, wie konnte mir das passieren mit der falschen Interpretation.. Dann muss ich die 2 und danach die 1 für beide Funktionen eingeben? Oder 2 für r und 1 für s?
Kannst du mir das vielleicht bitte einmal vorrechnen? Das wäre so hilfreich für mich! Dann habe ich ein Musterbeispiel
  ─   sunnyy 26.09.2020 um 12:21

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