[Minorantenkriterium] Welche Vergleichsreihe passt zu dieser Reihe?

Erste Frage Aufrufe: 695     Aktiv: 18.10.2020 um 18:42
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Hallo an alle!

Während der Vorbereitung auf eine Prüfung bin ich auf die folgende Reihe gestoßen:
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2k+1}\)

Nun soll ich feststelen, ob die Reihe (absolut) konvergiert oder divergiert und gegebenenfalls den Grenzwert berechnen.

(Bei einer ähnlichen Reihe ohne k im Zähler konnte ich problemlos durch die Vergleichsreihe 1/k^2 zeigen, dass sie konvergiert und mittels Partialbruchzerlegung den Grenzwert berechnen.)

Jedoch bei dieser Reihe kenne ich keine Vergleichsreihe...
WolframAlpha zeigt jedoch, dass es eine Minorante geben sollte und die Reihe somit divergiert:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28k%2F%28k%2B1%29%2C+k%2C+0%2C+infinity%29

Das Quotineten- und das Wurzelkriterium führte bei mir ebenfals zu keinem Ergebnis.

Daher meine Frage:
Welche Vergleichsreihe kann ich heranziehen, um das Minorantenkriterium auf diese Reihe anzuwenden und dadurch zu zeigen, dass die Reihe divergiert?

Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Antworten,

LG,
Florian

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Student, Punkte: 12

 
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Okay, neuer Versuch :D

Für \(k\geq 1\) gilt:

\(\frac{k}{2k+1}\geq\frac{1}{2k+1}\geq\frac{1}{2k+k}\geq\frac{1}{3k}\)

und die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}*\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\)

divergiert.

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Student, Punkte: 489

 
@student201: vielen Dank für den Tipp, so müsste es gehen, macht Sinn, wäre selbst nie so drauf gekommen!

@professors: aber die letzte Ungleichung mit 2k+1   ─   fl020 16.10.2020 um 16:50
Wie wäre die Vorgehensweise bei der Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2+4k+3}\)?   ─   fl020 16.10.2020 um 17:54
Ich glaube ich habe es gechafft die Minorante zu finden. Habe es folgendermaßen gemacht:
\(\frac{k}{k^2+4k+3}=\frac{1}{k+4+\frac{3}{k}}>\frac{1}{k+4·k+\frac{3}{k}}=\frac{1}{5k+\frac{3}{k}}>\frac{2}{5k+\frac{3}{k}·k^2}=\frac{1}{5k+3k}=\frac{1}{8}·\frac{1}{k}\)
Stimmen die Umformungsschritte so, bzw. ist das Beweis genug für das Minorantenkriterium?   ─   fl020 18.10.2020 um 16:13
Vielen Dank!   ─   fl020 18.10.2020 um 18:42

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Also erstmal das n = 1 in deiner Reihe ergibt keinen Sinn, dass muss natürlich ein k = 1 sein.

Sollte es tatsächlich ein n = 1 sein, dann konv. die Reihe wenn k/(2k+1) = 0 ist. Ich denke allerdings das du dich nur verschrieben hast.

Außerdem divergiert diese Reihe meines Wissens nach und WA bestätigt das auch, vielleicht hast du falsch falsches eingetippt.

Hier der Link: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28k%2F%282k%2B1%29%2C+k%2C+1%2C+infinity%29

 

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
Hallo,

danke für dein Feedback!
Ja du hast recht, ich habe mich da verschrieben mit dem n, sollte ein k sein! Schon abgeändert!
Ganz genau die Reihe divergiert, steht eh so im ersten Post, habe es aber noch deutlicher formuliert...

Was wäre nun eine passende Vergleichsreihe für das Minorantenkrietrium?   ─   fl020 16.10.2020 um 13:02

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Hi,

mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium kommst du tatsächlich nicht weiter.

Aber versuch mal das Nullfolgenkriterium bzw. Trivialkriterium ;)

Liebe Grüße!

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Student, Punkte: 489

 
Danke für den Hinweis!
Ich werde das als Alternative versuchen...
Jedoch kommt diese Art von Reihe bei mir häufiger vor, deshalb wäre es für mich wichtig eine Vergleichsreihe zu kennen und das Minorantenkriterium anzuwenden.
WolframAlpha kennt ja scheinbar eine Vergleichsreihe...   ─   fl020 16.10.2020 um 13:13

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