Mächtigkeit von R und Q

Erste Frage Aufrufe: 225     Aktiv: 06.09.2023 um 19:32

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Hallo. Wir sind Informatikstudenten im 5. Semester und sind nochmal zurück zu den Anfängen unserer Mathevorlesungen gegangen um ein Problem anzupacken, das relativ ähnlich zu sein scheint wie das des Titels.

Wir haben festgestellt, dass der Begriff der Abzählbarkeit und Nicht-Abzählbarkeit für uns komplett Sinn machen. Sollte auch so sein im 5. Semester.

ABER. Wir sind zurück zu dem Diagonalisierungsargument (über R) von Cantor gegangen und fragen uns jetzt, warum wir bei R immer wieder eine neue Zahl mit der Methode finden können und bei Q nicht.Uns wurmt die Frage, warum es ausgerechnet mit dem selben Verfahren bei Q nicht funktioniert.

 

Wir  haben verstanden, wie wir eine bijektive Abbildung von N auf Q machen können. Ist easy. Und wir wissen dass Q damit abzählbar ist.

Aber irgendwas geht da nicht auf für uns. Wenn wir eine Diagonale in Q ziehen und jede einzelne Ziffer um 1 erhöhen, stellen wir doch sicher, dass auch da sich jede einzelne Zahl von jeder anderen um mindestens 1 Stelle unterscheidet.

Vielleicht hatte jemand mal den selben fehlerhaften Gedankengang und kann aushelfen.

Danke im Voraus :)

 

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Listen wir einmal nur die (abzählbar vielen) rationalen Zahlen zwischen $0$ und $1$ auf:
$a_0= a_{00}a_{01}a_{02}a_{03}...$
$a_1= a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}...$
$a_2= a_{20}a_{21}a_{22}a_{23}...$
$a_3= a_{30}a_{31}a_{32}a_{33}...$
$....................$

Bilden wir nun die Zahl $b$ auf die bekannte Art
$b = 0,b_0b_1b_2b_3... $ mit $b_n\neq a_{nn}, \;n=0,1,2,3,... $,
so gilt $b\neq a_n$ für alle $n=0,1,2,3...$.
Damit kann es sich bei $b$ nicht um eine rationale Zahl handeln, denn nach Konstruktion ist $b$ eine Zahl zwischen $0$ und $1$ und müsste in der Liste vorkommen. Also ist $b$ eine irrationale Zahl.
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