Ein solches f hat immer mind. ein Extrema und ist immer beschränkt.
Der Beweis für "immer beschränkt" geht ungefähr so: Wenn \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} f(t) = a \in \mathbb{R}\), dann gibt es ein \(t_0\ge 0\), so dass \(|f(t)-a|<1, \forall t\ge t_0\). Daraus kann man schließen, das f in \([t_0,\infty)\) beschränkt ist.
Auf dem abgeschlossenen Intervall \([0,t_0]\) ist die stetige Funktion f auch beschränkt.
Der Beweis für Extrema geht ungefähr so:
Fall 1: f(0)<a.
Wähle ein y mit f(0)<y<a. Dann gibt es ein \(t_1\), so dass \(f(t)\ge y\) für alle \(t\ge t_1\).
Auf \([0,t_1]\) nimmt f Maximum und Minimum an. Sei \(t_3\) ein solches Minimun. Es ist \(f(t_3) \le y\le f(t) \;\forall t\ge t_1\). Also ist dies ein globales Minimum.
Fall 2: f(0)<a. Geht analog zu Fall 1.
Fall 3: f(0)=a, aber f nicht konstant a. Dann gibt es ein \(t_2>0\) mit \(f(t_2)\not = a\). Mit \(g:[0,\infty)\rightarrow \infty, g(t)=f(t-t_2)\) kann man das auf Fall 1 oder 2 zurückführen.
Fall 4: f ist konstant a. Hier ist jedes t Maximum und Minimum.
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─ m.simon.539 19.12.2023 um 19:07