Stetige Funktion- Extrema und Beschränktheit ?

Aufrufe: 257     Aktiv: 21.12.2023 um 07:32

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Hi, ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe. Auf dem ersten Blick sieht diese gar nicht so schwer aus, aber ich bin nun schon seit einiger Zeit am überlegen und komme nicht wirklich zu einer Antwort auf die Fragestellung.

Ich habe mir schon einige verschiedene Funktionen angekuckt, wie z.B    1/x,    e^-x oder    1/x * sin(x), die (nach meinem Verständnis ) die Anforderungen erfüllen. 

Jedoch kann ich keine wirkliche Aussage machen ob so eine Funktion f mit diesen Eigenschaften zwingend Extrema hat oder nicht und ob so eine Funktion immer beschränkt ist oder nicht, da meine überlegten Funktionen bei den Extrema und Beschränktheit unterschiedlich sind.

Vielleicht fehlt mir ja nur ein kleiner Gedankensprung, aber ich komme gerade echt nicht weiter. 

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Ein solches f hat immer mind. ein Extrema und ist immer beschränkt.
Der Beweis für "immer beschränkt" geht ungefähr so: Wenn \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} f(t) = a \in \mathbb{R}\), dann gibt es ein \(t_0\ge 0\), so dass \(|f(t)-a|<1, \forall t\ge t_0\). Daraus kann man schließen, das f in \([t_0,\infty)\) beschränkt ist.
Auf dem abgeschlossenen Intervall \([0,t_0]\) ist die stetige Funktion f auch beschränkt.

Der Beweis für Extrema geht ungefähr so:

Fall 1: f(0)<a.
Wähle ein y mit f(0)<y<a. Dann gibt es ein \(t_1\), so dass \(f(t)\ge y\) für alle \(t\ge t_1\).
Auf \([0,t_1]\) nimmt f Maximum und Minimum an. Sei \(t_3\) ein solches Minimun. Es ist \(f(t_3) \le y\le f(t) \;\forall t\ge t_1\). Also ist dies ein globales Minimum.
Fall 2: f(0)<a. Geht analog zu Fall 1.
Fall 3: f(0)=a, aber f nicht konstant a. Dann gibt es ein \(t_2>0\) mit \(f(t_2)\not = a\). Mit \(g:[0,\infty)\rightarrow \infty, g(t)=f(t-t_2)\) kann man das auf Fall 1 oder 2 zurückführen.
Fall 4: f ist konstant a. Hier ist jedes t Maximum und Minimum.

 

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Vielen Dank für deine Antwort, ich verstehe nur noch nicht ganz wie du bei Fall 1 darauf kommst, dass f auf [ 0, t1 ] ein Maximum und Minimum annimmt.   ─   cd 19.12.2023 um 12:51

Hab noch mal kurz drüber nachgedacht und glaube dass damit einfach gemeint ist, dass auf dem Intervall ein minimaler Funktionswert und maximaler funktionswert existiert und dass dann gezeigt wird dass der minimale Wert ein globales Minimum ist oder ?   ─   cd 19.12.2023 um 13:11

Stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen der Form [a,b] nehmen immer Minimum und Maximum an. Diese Tatsache habe ich mehrfach benutzt.
  ─   m.simon.539 19.12.2023 um 19:07

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Hier ist nur so zum Spaß noch ein alternativer Lösungsvorschlag:

Ist \( f \) konstant, so ist \( f \) trivialerweise beschränkt und nimmt ein Extremum an. Wir werden also im Folgenden annehmen, dass \( f \) nicht konstant ist.

Die Abbildung \( g: [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R} \), definiert durch

\( g(x) = \begin{cases} f(\tan(x)) & x \neq \frac{\pi}{2}, \\ \lim \limits_{t \to \infty} f(t) & x = \frac{\pi}{2}, \end{cases} \)

ist (nach Folgenkriterium) stetig und nimmt somit auf dem kompakten Intervall \( [0,\frac{\pi}{2}] \) ein Minimum und ein Maximum an. Wegen \( f(x) = g(\arctan(x)) \) ist \( f \) durch das Minimum und Maximum von \( g \) beschränkt. Und tatsächlich muss \( f \) auch mindestens einen dieser Extremwerte annehmen, denn: Minimum und Maximum von \( g \) können nicht beide im Punkt \( \frac{\pi}{2} \) angenommen werden, da sonst \( g \) und somit auch \( f \) konstant wären. Folglich muss mindestens ein Extremwert von \( g \) in einem Punkt \( x_0 \in [0, \frac{\pi}{2}) \) angenommen werden. Und \( f \) nimmt diesen Wert dann im Punkt \( \tan(x_0) \) an.
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