Ein solches f hat immer mind. ein Extrema und ist immer beschränkt.
Der Beweis für "immer beschränkt" geht ungefähr so: Wenn \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} f(t) = a \in \mathbb{R}\), dann gibt es ein \(t_0\ge 0\), so dass \(|f(t)-a|<1, \forall t\ge t_0\). Daraus kann man schließen, das f in \([t_0,\infty)\) beschränkt ist.
Auf dem abgeschlossenen Intervall \([0,t_0]\) ist die stetige Funktion f auch beschränkt.

Der Beweis für Extrema geht ungefähr so:

Fall 1: f(0)<a.
Wähle ein y mit f(0)<y<a. Dann gibt es ein \(t_1\), so dass \(f(t)\ge y\) für alle \(t\ge t_1\).
Auf \([0,t_1]\) nimmt f Maximum und Minimum an. Sei \(t_3\) ein solches Minimun. Es ist \(f(t_3) \le y\le f(t) \;\forall t\ge t_1\). Also ist dies ein globales Minimum.
Fall 2: f(0)<a. Geht analog zu Fall 1.
Fall 3: f(0)=a, aber f nicht konstant a. Dann gibt es ein \(t_2>0\) mit \(f(t_2)\not = a\). Mit \(g:[0,\infty)\rightarrow \infty, g(t)=f(t-t_2)\) kann man das auf Fall 1 oder 2 zurückführen.
Fall 4: f ist konstant a. Hier ist jedes t Maximum und Minimum.

 

Hier ist nur so zum Spaß noch ein alternativer Lösungsvorschlag:

Ist \( f \) konstant, so ist \( f \) trivialerweise beschränkt und nimmt ein Extremum an. Wir werden also im Folgenden annehmen, dass \( f \) nicht konstant ist.

Die Abbildung \( g: [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R} \), definiert durch

\( g(x) = \begin{cases} f(\tan(x)) & x \neq \frac{\pi}{2}, \\ \lim \limits_{t \to \infty} f(t) & x = \frac{\pi}{2}, \end{cases} \)

ist (nach Folgenkriterium) stetig und nimmt somit auf dem kompakten Intervall \( [0,\frac{\pi}{2}] \) ein Minimum und ein Maximum an. Wegen \( f(x) = g(\arctan(x)) \) ist \( f \) durch das Minimum und Maximum von \( g \) beschränkt. Und tatsächlich muss \( f \) auch mindestens einen dieser Extremwerte annehmen, denn: Minimum und Maximum von \( g \) können nicht beide im Punkt \( \frac{\pi}{2} \) angenommen werden, da sonst \( g \) und somit auch \( f \) konstant wären. Folglich muss mindestens ein Extremwert von \( g \) in einem Punkt \( x_0 \in [0, \frac{\pi}{2}) \) angenommen werden. Und \( f \) nimmt diesen Wert dann im Punkt \( \tan(x_0) \) an.