Statt über \(F\) zu integrieren, könntest du einfach über den Kreis mit Radius \(R\) in der \((x,y)\)-Ebene integrieren, dieser wird schließlich durch diesselbe Randkurve wie \(F\) begrenzt. Die Verwendung von Zylinderkoordinaten, bzw. der Parametrisierung \( T: [0, 2\pi] \times [0,R] \to \mathbb{R}^3, \; (r,\phi) \mapsto (r \cos \phi, r \sin \phi, 0)\) liegt nahe.

\[\int_{\partial F} v^T \mathrm{d} s = \int_{K_R} \operatorname{rot}(v)^T \mathrm{d}A = \int_{K_R} f\circ T (r,\phi) \hat{e}_z\; \partial_r T \times \partial_{\phi} T \;\mathrm{d}(r,\phi) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} (2r\cos \phi -1)r \;\mathrm{d}r \mathrm{d}\phi = -\pi R^2\]

Natürlich lässt sich das ganze auch mit deiner Parametrisierung berechnen, mit den ganzen \(\sin\) und \(\cos\) Termen wird das aber gerne etwas umständlicher. Mit \(S: [0,2\pi] \times [0, \frac{\pi}{2}] \to \mathbb{R}^3 , \; (u,v) \mapsto (R \cos(u) \sin(v), R \sin(u) \sin(v), R \cos(v))\) und \(\partial_u S \times \partial_v S = R^2 \sin(v)\;\begin{pmatrix} \cos(u) \sin(v) \\ \sin(u) \sin(v) \\  \cos(v) \end{pmatrix}\) muss nun das Integral \[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2R\cos u \sin v - 1) R^2 \cos v \sin v \;\mathrm{d}v \mathrm{d} u \] berechnet werden.