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So hätte ich gesagt, habe ich richtig gelöst ober gibt es immer noch irgendwelche Denkfehler?
Ich glaub so würde es gehen
es sieht grad so aus
sind die Grenzen richtig ?
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Deine Obergrenze "x" ist nicht definiert. x existiert nur innerhalb des inneren Integrals.
Es empfielt sich, die Integrationsreihenfolge vertauschen - und das darf man auch, also statt "dx dy" sollte man "dy dx" schreiben. Dann kann man die Unter- und Obergrenze intuitiver ausrechnen.
Leider muss man hier das Integral in zwei Teile aufspalten: Im ersten Teil läuft x von -1 bis 0, im zweiten Teil von 0 bis 1.
Die Untergrenze von x ist in beiden Teilen die Gerade von (-1,-1) bis (1,0). Ich nenne diese Gerage g.
Die Obergrenze von x ist im ersten Teilen die Gerade von (-1,-1) bis (0,1). Diese Gerade nenne ich \(h_1\).
Die Obergrenze von x ist im zweitenTeilen die Gerade von (0,1) bis (1,0). Diese Gerade nenne ich \(h_2\).
Also hast Du dann folgendes zu berechnen:
\(\displaystyle \int_{-1}^0 \int_{g(x)}^{h_1(x)} (x+y) dy\, dx\;+\;\int_0^1 \int_{g(x)}^{h_2(x)} (x+y) dy\, dx\)
Es empfielt sich, die Integrationsreihenfolge vertauschen - und das darf man auch, also statt "dx dy" sollte man "dy dx" schreiben. Dann kann man die Unter- und Obergrenze intuitiver ausrechnen.
Leider muss man hier das Integral in zwei Teile aufspalten: Im ersten Teil läuft x von -1 bis 0, im zweiten Teil von 0 bis 1.
Die Untergrenze von x ist in beiden Teilen die Gerade von (-1,-1) bis (1,0). Ich nenne diese Gerage g.
Die Obergrenze von x ist im ersten Teilen die Gerade von (-1,-1) bis (0,1). Diese Gerade nenne ich \(h_1\).
Die Obergrenze von x ist im zweitenTeilen die Gerade von (0,1) bis (1,0). Diese Gerade nenne ich \(h_2\).
Also hast Du dann folgendes zu berechnen:
\(\displaystyle \int_{-1}^0 \int_{g(x)}^{h_1(x)} (x+y) dy\, dx\;+\;\int_0^1 \int_{g(x)}^{h_2(x)} (x+y) dy\, dx\)
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geantwortet
m.simon.539
Punkte: 2.34K
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Hast Du das Dreieck überhaupt schon skizziert?
─
mikn
21.11.2023 um 14:56
Ja ich hab es schon skizziert
─
user6af81f
21.11.2023 um 16:17
Dann siehst Du ja die drei Geraden und kannst sie mit Schulmathematik berechnen. Und damit die Integrale Wenn du hängen bleibst, lade deine Rechnung hoch (oben "Frage bearbeiten").
─
mikn
21.11.2023 um 16:41
Ich habe es hochgeladen und die Antwort ist -1/6, Danke im Voraus für deine Hilfe!
─
user6af81f
21.11.2023 um 22:22
Was machst Du da? Erstmal stimmt Dein Dreieck nicht. Weiter hat m.simon es Dir genau aufgeschrieben, nichts davon (Geradengleichung bestimmen, Integral aufteilen, usw.) findet sich in Deiner Lösung wieder.
Beachte: $\int\limits_a^b f(x)dx$ heißt $x$ läuft in den Grenzen von $a$ bis $b$, entsprechend auch für geschachtelte Integrale (Doppelintegrale). Damit und mit m.simon's Anleitung sollte alles klar sein.
─ mikn 21.11.2023 um 22:50
Beachte: $\int\limits_a^b f(x)dx$ heißt $x$ läuft in den Grenzen von $a$ bis $b$, entsprechend auch für geschachtelte Integrale (Doppelintegrale). Damit und mit m.simon's Anleitung sollte alles klar sein.
─ mikn 21.11.2023 um 22:50
ja ich habs grad gesehen dass mein Dreieck nicht richtig ist, aber komme nicht weiter wie Simon gemacht hat
Wie könnte man das Integral von h1 und g Funktionen berechnen ? ─ user6af81f 21.11.2023 um 22:56
Wie könnte man das Integral von h1 und g Funktionen berechnen ? ─ user6af81f 21.11.2023 um 22:56
Es ist doch alles gesagt. Du hast noch nicht mal das Dreieck richtig (das macht man als allererstes, dazu braucht man keine Kenntnis von Integralen). Lade das richtige Dreieck hoch und die von Dir bestimmten Geradengleichungen (geht nur mit Schulmathematik, also los). Übrigens meint m.simon die Ober- bzw. Untergrenzen von y, nicht von x.
─
mikn
21.11.2023 um 23:00
Und wo sind die Geradengleichungen? Mit den Bezeichnungen von m.simon? Kannst Du nicht den Schulmathematik-Teil endlich mal abschließen?
─
mikn
21.11.2023 um 23:24
Ich habe in meiner Antwort nicht die komplette Rechnung angegeben, sondern nur die Eckpfeiler.
Die Berechnung Geradengleichungen habe ich ausgelassen, weil es dafür Formeln gibt. Hier z.B. die Zweipunkteform: https://de.wikipedia.org/wiki/Zweipunkteform , 2. Formel. In die musst Du dann die Koordinaten Punkte einsetzen. g z.B. durchläuft die Punkte (-1,-1) und (1,0), also ist hier \(x_1=-1, y_1=-1, x_2=1,y_2=0\). Das ist dann in genannte Formel einsetzen; das y, was dann herauskommt, ist dann Dein g(x), also die Integraluntergrenze beider Teilintegrale.
─ m.simon.539 22.11.2023 um 10:59
Die Berechnung Geradengleichungen habe ich ausgelassen, weil es dafür Formeln gibt. Hier z.B. die Zweipunkteform: https://de.wikipedia.org/wiki/Zweipunkteform , 2. Formel. In die musst Du dann die Koordinaten Punkte einsetzen. g z.B. durchläuft die Punkte (-1,-1) und (1,0), also ist hier \(x_1=-1, y_1=-1, x_2=1,y_2=0\). Das ist dann in genannte Formel einsetzen; das y, was dann herauskommt, ist dann Dein g(x), also die Integraluntergrenze beider Teilintegrale.
─ m.simon.539 22.11.2023 um 10:59
m.simon.530 Vielen Dank für die Feedback, Ich hab genauso gelöst wie du geschrieben hast, ich hab es hochgeladen. Sind meine Grenzen jetzt richtig ?
─
user6af81f
22.11.2023 um 11:40
Nein, hier geht es einiges mit x und y durcheinander. Mag an dem Fehler in m.simon's Antwort liegen, den er/sie noch nicht korrigiert hat. Ich hatte Dir aber gesagt, wie's richtig lautet, außerdem zur Erinnerung nochmal mein Tipp, was das Integral bedeutet (womit das auch klar wird).
Und wenn Du von oben und nach unten und links nach rechts schreiben würdest, wird auch alles lesbarer. ─ mikn 22.11.2023 um 12:01
Und wenn Du von oben und nach unten und links nach rechts schreiben würdest, wird auch alles lesbarer. ─ mikn 22.11.2023 um 12:01
g(x) ist richtig, \(h_1(x)\) und \(h_2(x)\) falsch.
Zu \(h_1(x)\). Hier ist \(\displaystyle x_1=-1,\,y_1=-1,\,x_2=0,\,y_2=1\). Das in die Wiki-Formel eingesetzt:
\(\displaystyle y \;=\; \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \;=\; \frac{1-(-1)}{0-(-1)}(x-(-1)) +(-1) \;=\; 2 (x+1)-1 = 2x+1\)
Das ist dann die Obergrenze des ersten Integrals.
Analog berechnet man die Obergrenze des zweiten Integrals (zur Kontrolle: 1-x) ─ m.simon.539 22.11.2023 um 19:39
Zu \(h_1(x)\). Hier ist \(\displaystyle x_1=-1,\,y_1=-1,\,x_2=0,\,y_2=1\). Das in die Wiki-Formel eingesetzt:
\(\displaystyle y \;=\; \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \;=\; \frac{1-(-1)}{0-(-1)}(x-(-1)) +(-1) \;=\; 2 (x+1)-1 = 2x+1\)
Das ist dann die Obergrenze des ersten Integrals.
Analog berechnet man die Obergrenze des zweiten Integrals (zur Kontrolle: 1-x) ─ m.simon.539 22.11.2023 um 19:39
─ user6af81f 21.11.2023 um 14:23