Zuerst einmal sei gesagt, dass es viele verschiedene Arten von Integralen gibt. Neben dem Riemann-Intergral gibt es das Lebesgue-, Bochner-, Stieltjes-Integral und so weiter. Sie haben alle gemein, dass sie die Fläche oder den Inhalt unter einer bestimmten Funktionsklasse ausmessen wollen.

In der Schule wird nur das Riemann-Intergral gelehrt und das reicht auch aus, denn sobald man sich auf Riemann-integrierbare Funktionen beschränkt, geben die Intergralbegriffe denselben Wert aus. Und so ziemlich alle Funktionen die man in der Schule lernt, sind Riemann-integrierbar.

Das Riemann-Integral misst die Fläche unter einer Funktion, indem es unendlich dünne Balken unter den Graphen schiebt und die Fläche der Balken zusammenzählt:

Es gibt aber wie gesagt auch andere Möglichkeiten, diese Fläche zu bestimmen.

Das unbestimmte Integral über eine Funktion kann nun so verstanden werden: Wir erraten eine Funktion, die abgeleitet unsere gegebene Funktion ergibt. Das was als Ergebnis herauskommt, nennt man dann eine Stammfunktion.

Jedoch gibt es viele Funktionen, die gar keine Stammfunktion besitzen, zumindest keine, die aus Standard-Funktionen aufgebaut sind. Ein Beispiel hierfür ist \( f(x)=e^{-x^2} \).

Nun gibt es den Fundamentalsatz der Analysis der besagt, dass man bestimmte Integrale immer mithilfe von Stammfunktionen berechnen kann (sofern man sie kennt).

Zu der letzten Frage: Die Konstante verändert unsere Fläche nicht. Die Fläche entsteht erst durch die Differenz der Stammfunktionen \( F(a)-F(b) \), wobei die Konstante darauf keinen Einfluss hat, weil sie addiert und wieder abgezogen wird.

Die Stammfunktion kann verstanden werden als Fläche zwischen einem beliebigen (festgelegten) Wert \( a \) und dem Wert \(x\). Also wenn \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist:

\( F(x) = \int\limits_a^x f(x)\ \mathrm dx + c \)

Viele Grüße