Lotterie mit schrumpfender Kugel Anzahl?

Aufrufe: 930     Aktiv: 24.05.2020 um 20:41

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Hallo,
ich habe folgendes Spiel:
Einsatz sind bspw, E=50 cent.

Zu beginn ist eine Schale mit 10 Kugeln vorhanden, 8 weiter, 1 exit, und 1 death Kugel.
In jeder Runde wird eine Kugel gezogen.
Weiter bedeutet dass derjenige die Runde überstanden hat und in die nächste runde kommt.
Exit heißt dass das Spiel hier endet und der Spieler seine bsiher erreichten Gewinne mitnehmen kann.
death heißt, er verliert Alles, egal wie viel er bisher erspielt hat.

Enden kann das spiel nur dadurch dass der spieler in irgendeiner runde die exit oder death kugel zieht.

natürlich wird nach ejder überstandenen runde eine weiter kugel entfernt sodass das spiel, positiv oder negativ, spätestens nach der 8. Runde endet.

zu den Gewinnen:
Übersteht spieler die Runde 1, so erhält er einen Startgewinn G, sagen wir G=5 Cent.
Übersteht er eine der Folgerunden, so wird der bisherige Gewinn verdoppelt.


Heißt: Übersteht der Kunde Runde 1, ist sein Stand bei G-K.
Übersteht er auch Runde 2, ist sein Stand 2G-K.
usw.

Zieht er am Ende einer Runde die Exit Kugel, gilt auch diese Runde als bestanden, aber das Spiel endet an dem Punkt.

Death zu ziehen negativ alle gewinne bisher und der Spieler geh meit seinem verlorenen Einsatz nach Hause.

Nun würde mich natürlich interessieren wie hoch der Erwartungswert dieses Spiels ist.

An möglichen Pfaden (beim Baumdiagramm) gibt es letztlich eine Anzahl an Weiter Kugeln, gefolgt von entweder  einer Exit oder einer Death Kugel.

d.h. alle Möglichen Pfade haben die Struktur
w^i d (also i mal weiter und 1 exit)

oder

w^i e (i mal weiter und 1 exit)

wobei i zwischen 0 und 8(?).

Aber wie bestimme ich hier , möglichst effizient, den Erwartungswert?

E und G sollen nach Möglichkeit schön allgemein gehalten werden, damit ich später mal überlegen kann für wleche Werte von E und G das Ganze (für den betreiber) profitabel ist oder nicht.

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Mein Ansatz wäre hier Folgender (Ich habe das Gefühl, dass du das Baumdiagramm alleine hinbekommst, deswegen spar ich mir die Arbeit mal):
Als erstes würde ich die Wahrscheinlichkeit für die Acht Gewinnpfade errechnen, das geht mit ein bisschen Geschick ziemlich schnell in Excel und im Endeffekt sind es acht Rechnungen, die noch dazu aufeinander aufbauen. Die Wahrscheinlichkeit eine death Kugel zu ziehen ist für den Erwartungswert mehr oder weniger irrelevant, weil der Gewinn ja null ist und naja wenn ich was mit Null multipliziere....
Den Gewinn für die einzelnen Runden kannst du recht einfach berechnen. \( \text {Gewinn} = G * 2^{R-1} \) Wobei R für die Runde steht, angefangen bei Runde 1.
Ich hoffe das hilft dir und ist dir effizient genug. Ein bisschen Rechnerrei ist es aber ich denke durchaus machbar und gut zu automatisieren.

Wenn ich noch helfen kann meld ich gerne

Beste Grüße
Till

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Hm, das heißt bei bspw. 8 weiter kugeln und einer exit kugel am ende, also 9 runden was das maximal wäre, wäre der gewinn
Gewinn=G*2^(rundenanzahl-1)=G*2^(9-1)=G*2^8
sowie die Wahrscheinlichkeit
8/10*7/9*...*1/3*1/2
=(2*1)/(10*9)*1/2,
oder?
  ─   densch 24.05.2020 um 20:41

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