Du schreibst die Vektoren in einer Matrix nebeneinander. Dann transponierst du die Matrix, machst als aus einer Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten, eine Matrix mit 4 Zeilen und 3 Spalten. Auf diese transponierte Matrix wendest du dann das Gauß-Verfahren bis zum Ende an. In deinem Fall bekommst du am Ende eine Nullzeile. Die fertige Matri, nach dem Gauß-Verfahren, transponierst du wieder zurück und dann stehen dort 3 Vektoren (von links nach rechts in der Matrix gelesen) die eine Basis bilden.

Allgemein kann man bei solchen Aufgaben ist wie folgt vorgehen: Schmeiß einfach nach und nach erzeugende Vektoren raus, die sich durch Linearkombinationen aus den anderen ergeben. Was übrig bleibt ist dann eine Basis.

In diesem speziellen Fall kann man sich die Sache durch genaues Hinsehen noch einfacher machen. Es handelt sich um einen Unterraum des \( \mathbb{R}^3 \). Findest du \(3\) Erzeuger, die linear unabhängig sind (zum Beispiel die ersten drei), dann ist der Unterraum also schon ganz \( \mathbb{R}^3 \) und diese \(3\) Erzeuger bilden dann eine Basis.