Komplexe Basis ~Lineare Algebra

Aufrufe: 40     Aktiv: 13.05.2021 um 21:14

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hi! kann jemand mir helfen?ich hab überhaupt keine Idee wie ich das beweisen soll
Danke!

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Student, Punkte: 92

 

Willst du das markierte beweisen oder alles, wo "Zeigen Sie" davorsteht?   ─   stal 13.05.2021 um 18:42

Wäre lieb dass du mir vllt Hinweise gibst wie ich diese Aufgabe lösen,,ich hab markiert weil die Aufgabe sehr lang für mich ist und ich hab klar gemacht was ich zeigen muss damit ich nicht verwirrt werde wenn ich die Aufgabe lese🙈   ─   anonym 13.05.2021 um 20:43

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Um zu zeigen, dass \(V=V_1+V_{-1}\) gilt, kannst du die Gleichung \(v=\frac{v+j(v)}{2}+\frac{v-j(v)}2\) benutzen.
Für die komplexe Konjugation musst du einfach nur die Eigenschaften \(j^2=\mathrm{id}\) und \(j(zv)=\bar zj(v)\) nachrechnen.
Für den letzten Teil: Da die Summe direkt ist, ist \((v^1,\ldots,v^k,\bar v^1,\ldots,\bar v^k)\) eine Basis von \(U\oplus j(U)\). Zeige, dass diese Basis die gleiche Menge erzeugt wie die gegebene. Dazu genügt es zu zeigen, dass alle Elemente der einen Basis als Linearkombination der anderen Basis dargestellt werden können und andersherum .
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