Kurze exakte Folgen

Aufrufe: 108     Aktiv: 04.01.2023 um 13:48

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Hallo ich bin in einem Buch auf ein Lemma gestoßen von welchem der Beweis nicht komplett gegeben ist und ich ihn leider auch selbst nicht hinbekomme. Es geht um folgende Situation wenn man eine kurze exakte Folge von Vektorräumen in der Art hat 0 ->A -> B - >C -> 0 abgebildet, wobei die Abbildung zwischen A und B f genannt wird und die zwischen B und C g. In dem Beweis wird bereits gezeigt das wenn {a_i} Basis von A und {c_j} Basis von C ist (endlich) so wird die B von { f(a_i), b_j } erzeugt, wobei g(b_j) = c_j ist.
Nun soll der leser zeigen das diese Vektoren auch linear unabhängig sind und somit eine Basis, daran scheitere ich gerade jedoch noch. Kann mir jemand dabei behilflich sein ? I ch denke eigentlich das der Beweis nicht so schwierig sein sollte ich jedoch irgendetwas übersehe und deswegen nicht selbst drauf komme.
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Was soll fehlen?   ─   mathejean 04.01.2023 um 13:20

Es steckt alles in exakte Folge (meist exakte Sequenz): https://en.m.wikipedia.org/wiki/Exact_sequence   ─   mathejean 04.01.2023 um 13:26

achsooo, dann bin ich wieder ruhig ;-)   ─   mikn 04.01.2023 um 13:30

Du hast recht habe einige Vorraussetzungen vergessen ja die Abbildungen sollen linear sein. Und was die 0 sein soll bin ich mir auch nicht ganz sicher denke mal das soll der Vektorraum sein der nur die 0 enthält.   ─   henry_99 04.01.2023 um 13:30

Ja 0 ist der Nullvektorraum. @henry habt ihr auch allgemeinere Sequenzen oder Komplexe gemacht?   ─   mathejean 04.01.2023 um 13:31

Erarbeite mir momentan das ganze Thema selbst für ein Seminar und stehe noch ziemlich am Anfang hab mich aber auch schon ein wenig mit Komplexen beschäftigt. Aber meine Frage hat sich jetzt schon geklärt aber trozdem danke für die Hilfsbereitschaft.   ─   henry_99 04.01.2023 um 13:48
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Wende auf \(\sum_i \lambda_i f(a_i)+\sum_j \mu_j b_j=0 \) die Abbildung \(g\) an und nutze exaktheit
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Erstmal danke für deine Hilfe. So wie ich das sehe erhält man doch dann nur das die μj = 0 sind, da dann ja g(f(a_i)) = 0 ist aber warum ist das schon ausreichend für die lineare Unabhängigkeit von { f(a_i), b_j } ?   ─   henry_99 04.01.2023 um 13:26

Genau wir haben also nur noch \(0=\sum_i \lambda_i f(a_i)=f(\sum_i\lambda_i a_i)\), jetzt nutze Injektivität von \(f\)   ─   mathejean 04.01.2023 um 13:28

Ah okay alles klar jetzt sehe ich es dann muss ∑iλiai = 0 sein weil f injektiv und linear ist also f(0) = 0 und damit die Summe und da die ai als Basis Linear unabhängig sind müssen die lamda 0 sein richtig ?   ─   henry_99 04.01.2023 um 13:36

Ja, sehr gut!   ─   mathejean 04.01.2023 um 13:37

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