Spaltensummennorm

Aufrufe: 331     Aktiv: 26.04.2023 um 17:57

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Hallo, ich verstehe nicht ganz warum die Operatornorm bzgl der Summennorm/L1 Norm (-->Spaltensummennorm) die Spalten aufsummiert und dann das Maximum bildet. Es ist mir nicht ganz klar wie das aus der Definition der Operatornorm IIAII _L = [ sup(Ax) | ||x||<=1 ] folgt. Kann man sie das als die Summe der Komponenten des basisvektors der Matrix, der den Vektor x (mit x(1),x(2),x(3),...,x(n) =1 ) am meisten streckt vorstellen? Müsste es nicht nach Definition sogar die Summen der Komponenten von A sein, sodass A*x maximal ist? Vielen Dank für Hilfe!

EDIT vom 25.04.2023 um 19:01:

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Über sup oder max braucht man sich nicht viel Gedanken machen. Denn man weiß, dass ein sup einer stetigen Funktion über einer kompakten Menge angenommen wird, also ein max ist. Braucht man aber hier auch nicht zu wissen.
Man zeigt nämlich erstmal $\|A\,x\|_1\le \|A\|_1$ für alle $x$ mit $\|x\|\le 1$, wobei $\|A\|_1$ per Def.(!) die Spaltensummennorm sein soll. Das beweist $\sup\limits_{\|x\|\le 1} \|A\,x\|_1\le \|A\|_1$.
Dann zeigt man: Es gibt $x$ mit $\|x\|=1$ und $\|A\,x\|_1 = \|A\|_1$.
Damit ist insgesamt $\sup\limits_{\|x\|\le 1} \|A\,x\|_1 = \|A\|_1$ gezeigt, auch ohne obige Überlegung zu sup/max.
In Deinem Ansatz fehlen die Beträge.
Wie das geht (erfordert etwas Übung), kann man an vielen Stellen nachlesen, z.B. hier: https://www.applied.math.tugraz.at/lehre/ws/num1/Kapitel3.pdf unter Lemma 3.3
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Verwende die Definition für das Matrixvektorprodukt $Ax$ und schreibe die zugehörige Summe (mit Summenzeichen) hin. Berechne dann $||Ax||_1$. Aus $||x||_1=1$ folgt dann, dass dort die Spaltensumme steht. Übrigens ist Supremum etwas anderes als Maximum und die formale Definition ist $||A||_1:=\max\limits_{x\neq 0}\frac{||Ax||_1}{||x||_1}$.
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Danke für die Antwort! Es Ist gemeint, dass ich die Summe des entstandenen Vektors hinschreibe, oder? Und bzgl von Maximum und Supremum, die Definition der Operatornorm ist ja eigentlich mit dem Supremum, wird hier dann das Maximum verwendet, weil das Supremum angenommen wird?   ─   juliusdadas 24.04.2023 um 17:39

Ja genau, hier kann man dann das Maximum nehmen. Genau, schreibe den entstandenen Vektor hin.   ─   cauchy 24.04.2023 um 23:12

Ich habe es mal versucht. Ich weiß aber nicht wie genau ich jetzt das Maximum nehmen muss oder die L1 Norm anwenden soll. Ich habe meinen Ansatz hinzugefügt.   ─   juliusdadas 25.04.2023 um 19:02

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Hänge mich gerade ein wenig an dem Satz "Aus $||x||_1=1$ folgt dann, dass dort die Spaltensumme steht" auf und finde diesen nicht gerade mathematisch präzise. Im Prinzip geht es ja (und korrigiert mich, wenn ich falsche liege) darum, einen geschlossenen Ausdruck für die Operatornorm einer Matrix zu finden. Die Operatornorm ist, wie in deiner Antwort definiert, und die Spaltensummennorm ist zunächst mal ein Ausdruck, für den man zeigen soll, dass dieser gerade die gesuchte Operatornorm ist.

Es folgt daher eben nicht aus $||x||_1=1$, sondern präziser: Es gibt ein $\hat{x} \in V$ mit $||\hat{x}||_1=1$, so dass $||A\hat{x}||_1=||A||_1$ gilt. Damit ist die (noch zu zeigende) Ungleichung $||Ax||_1\leq ||A||_1$ scharf und das Maximum (oder Supremum) wird angenommen.
  ─   crystalmath 26.04.2023 um 17:55

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