Über sup oder max braucht man sich nicht viel Gedanken machen. Denn man weiß, dass ein sup einer stetigen Funktion über einer kompakten Menge angenommen wird, also ein max ist. Braucht man aber hier auch nicht zu wissen.
Man zeigt nämlich erstmal $\|A\,x\|_1\le \|A\|_1$ für alle $x$ mit $\|x\|\le 1$, wobei $\|A\|_1$ per Def.(!) die Spaltensummennorm sein soll. Das beweist $\sup\limits_{\|x\|\le 1} \|A\,x\|_1\le \|A\|_1$.
Dann zeigt man: Es gibt $x$ mit $\|x\|=1$ und $\|A\,x\|_1 = \|A\|_1$.
Damit ist insgesamt $\sup\limits_{\|x\|\le 1} \|A\,x\|_1 = \|A\|_1$ gezeigt, auch ohne obige Überlegung zu sup/max.
In Deinem Ansatz fehlen die Beträge.
Wie das geht (erfordert etwas Übung), kann man an vielen Stellen nachlesen, z.B. hier: https://www.applied.math.tugraz.at/lehre/ws/num1/Kapitel3.pdf unter Lemma 3.3

Verwende die Definition für das Matrixvektorprodukt $Ax$ und schreibe die zugehörige Summe (mit Summenzeichen) hin. Berechne dann $||Ax||_1$. Aus $||x||_1=1$ folgt dann, dass dort die Spaltensumme steht. Übrigens ist Supremum etwas anderes als Maximum und die formale Definition ist $||A||_1:=\max\limits_{x\neq 0}\frac{||Ax||_1}{||x||_1}$.