Quotientenregel mit e^x

Erste Frage Aufrufe: 81     Aktiv: 29.06.2024 um 23:50

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Aufgabe:



Meine Fragen:

1. Warum kann ich nicht einfach alle x+1 im Zähler mit dem x+1 im Nenner kürzen?
2. Was wäre hier der richtige Ansatz um diese Differentialgleichung zu lösen?
    2.1 Soll ich hier das alles im Nenner ausmultiplzieren und zusammen rechnen?
3. Was sind Regeln für das kürzen von solchen Termen?

Vielen Dank für die Hilfe

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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Der Merksatz lautet: "Differenzen und Summen Kürzen die Dummen." Bedeutet das ist erlaubt:
\[\dfrac{c\cdot a+c\cdot b}{c\cdot d}=\dfrac{c\cdot (a+b)}{c\cdot d}=\dfrac{a+b}{d}\]

Das hier geht nicht:
\[\dfrac{c\cdot a+b}{c\cdot d}\neq\dfrac{a+b}{d}\]


Das auf deine Ableitung (eine Differentialgleichung ist etwas anderes!) findet Anwendung wenn du die gleichen Potenzen zusammenfasst und entsprechend so im Zähler ausklammerst, dass du anschließend Kürzen kannst:
\[\dfrac{e^x(x+1)(x+1)^2-2(x+1)e^xx}{\big{(}(x+1)^2\big{)}^2}=\dfrac{e^x(x+1)^3-2xe^x(x+1)}{(x+1)^4}\overset{?}{=}\dfrac{(\ldots)\cdot [\ldots]}{(x+1)^4}\]

Anschließend kannst du im Zähler noch den $e$-Term ausklammern und das was du dann zusammenfasst, dass kannst du dann ausmultiplizieren. Prinzipiell sollte man nicht ausmultiplizieren, da die Terme in faktorisierter Form besser zu vereinfachen sind.

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Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

Es wäre nett, wenn sie einen Rechenweg hochladen könnten, wie sie auf das Ergebnis von \(\frac{e^x \cdot x}{(x+1)^2}\) kommen, damit ich das nachvollziehen kann, weil im Buch: "Mathematik 1 für Ingenieure" by Daniel Jung -- Seite 124 -- Unterkapitel 7.3.3, kommt folgende Aufgabe vor:


\( f_5 = \frac{ln(x)}{x} + \frac{e^x \cdot x}{(x+1)^2}\)

Ohne \(\frac{ln(x)}{x}\) miteinzubeziehen, kommt auf Rechnerplattformen (wie: Photomath, Ableitungsrechner.net, ...) beim differenzieren von \(\frac{e^x \cdot x}{(x+1)^2}\) folgendes raus:

\(\frac{e^x(x^2+1)}{(x+1)^3}\)

und im Buch ist die Lösung folgende:

\(\frac{e^x(x^2+1)}{(x+1)^2}\)

Ich nehme mal an das, das im Buch ein Fehler ist, aber selbst mit (Photomath, usw.) und mit dem Rechenweg im Buch komm ich nicht auf das Ergebnis von selbst.

Vielen Dank für Ihre Zeit
  ─   usbc1982 29.06.2024 um 23:03

Ja, da ist ein Fehler im Buch. maqu hat Dir die halbe Rechnung schon geliefert.
Zeig Du mal, wie Du ab dem "?" weitergerechnet hast.
  ─   mikn 29.06.2024 um 23:15

Ich hab's danke für den Hinweis mit dem Fragezeichen.

Noch eine kurze Frage. Ist die Aufgabe schwierig?
  ─   usbc1982 29.06.2024 um 23:25

Wir kennen nur Deine Rechnung, nicht die Aufgabe. Um das zu beantworten, müsste man erstmal die Aufgabe im Original kennen. Dann muss man wissen, was im Unterricht dran war, was erklärt worden ist, welche Beispiele. Dazu Deinen(!!!) Kenntnisstand. Dann (frühestens) kann man sagen, ob die Aufgabe für Dich(!) schwierig ist.
Kurz: Antworten auf solche Fragen sind nicht sinnvoll.
Wer alle vorherigen Themen beherrscht (insb. Ableitungen, Bruchrechnung, Termumformungen, usw.) für den ist die Aufgabe nicht schwierig. Wer da Lücken hat (wie Du), für den ist sie schwieriger.
  ─   mikn 29.06.2024 um 23:48

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