Wie beweise ich diese Aussage über implizite Funktionen?

Aufrufe: 680     Aktiv: 25.04.2021 um 19:39
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Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe gegeben, bei der ich auf dem Schlauch stehe. Ich sehe nicht gerade wie ich mit den Notationen umgehen darf. Also 

Sei \(F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion und sei \((x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2\) so dass \(\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0) \neq 0\). Sei \(f:(x_0-\delta,x_0+\delta)\rightarrow \mathbb{R}\) die Funktion (gegeben durch den Satz der impliziten Funktion), deren Graph die Nullstellen von \(F\) in einer Nachbarschaft von \((x_0,y_0)\) beschreibt. Zeigen Sie, dass 


Also was ich bis jetzt weiss ist, dass die Funktion F ja den Satz der impliziten Funktionen erfüllt und daher für f gilt:
\(f'(x)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}\). Nun dachte ich mir, dass ich ja im eigentlich einfach \(f''(x)\) berechnen kann und dann sollte ich auf das von oben kommen, doch irgendwie funktionniert das nicht, bin erstens ein wenig irritiert wie ich dann das mit der Notation der partiellen Ableitung machen soll, also wie man diese genau handhabt in einem solchen Fall, zweitens bin ich auch ein wenig irritiert wieso dann im Nenner ein hoch 3 auftaucht, meines erachtens müsste da mit der Quotientenregel nur ein hoch 2 kommen, aber wie gesagt wahrscheinlich ist bei meiner Notation der Fehler verborgen.

Könnte sich das jemand anschauen?

Vielen Dank
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Da ist nichts tiefsinniges dahinter. Alles, was man braucht, ist:
\(F(x,f(x))=0\) und die Ableitungsregeln. Ich schreibe \(F_x=\frac{\partial F}{\partial x}\), und lasse das \((x,f(x))\) überall hinter \(F...\) und das \((x)\) hinter \(f...\) weg, dann wird es übersichtlicher.
Einmal ableiten gibt: \(F_x+F_y\cdot f'=0\). Diese Gleichung leitet man nochmal ab (Kettenregel, Produktregel) und dann stellt man um nach \(f''\), setzt noch \(f'=-\frac{F_x}{F_y}\) ein (nicht vorher!) und alles wird gut.
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Sorry noch kurz eine Frage hast du beim ersten Mal ableiten die Kettenregel verwendet? Also wir hatten nämlich eine Version der Kettenregel in Verbindung mit Kurven und eine hatten wir einfach für 2 Funktionen, welche verwendet man hier, denn ich habe noch ein wenig Mühe das einfach so zu sehen, möchte es nicht auswendig lernen sondern verstehen.   ─   karate 25.04.2021 um 13:44
Aha also ist das identisch zu dieser die sagt \(d(f\circ g)|_a=df|_{g(a)}\circ dg|_a\) nur hier arbeiten wir einfach mit dem Differential und du hast es mit dem Gradienten bzw. Jacobimatrix gemacht.   ─   karate 25.04.2021 um 14:04
aber im Allgemeinen Fall (so wie ich meine vorhin geschrieben habe) würde sie so heissen :
\(\sum_i \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(g(x))\frac{\partial g_i}{\partial x_k}(x)\)
oder nicht?

Sorry irgendwie habe ich noch ein wenig ein durcheinander bei der Kettenregel. Komme nicht ganz draus da man ja eigentlich innere Ableitung mal äussere Ableitung machen sollte, jedoch ist doch (x,f(x)) gar keine Funktion die man ableiten kann, also ich blicke hier formal nicht ganz durch könntest du mir das in unserem Beispiel noch ein wenig erläutern, sorry   ─   karate 25.04.2021 um 14:28
ah ja sorry habe es falsch aufgeschrieben. Okei vielen Dank, hoffe dass ich dann auch die zweite Ableitung gut berechnen kann, denn habe jetzt lange und erfolglos versucht das ganze zu berechnen   ─   karate 25.04.2021 um 15:43
Okei macht Sinn, aber wie kommst du genau auf \(F'=(F_x,F_y)\)

Und stimmt es wenn ich nun die zweite Ableitung berechne, jetzt nur mal von \(F_x(g(x))\) dann hätte ich gesagt, dass \((F_x)'=(F_{xx}(g(x)), F_{xy}(g(x))\) und \(g'(x)\) bleibt wie oben oder geht das nicht?   ─   karate 25.04.2021 um 16:07
Ah ja genau also würde das heissen, dass das zweite falsch ist, also die zweite Ableitung die ich im letzten Kommentar berechnet habe?   ─   karate 25.04.2021 um 16:26
Ich verstehe nicht ganz was du meinst. also ich habe es versucht mit der Gleichen Notation wie oben zu machen.   ─   karate 25.04.2021 um 16:38
aha also du meinst, dass ich es so schreiben sollte:
\((F_x(g(x)))'=(F_{xx}(g(x)), F_{xy}(g(x))\), aber dann passt es so? Also versuche ich es mal und wenns nicht klappt melde ich mich nochmals   ─   karate 25.04.2021 um 17:04
Aha also müsste ich es so schreiben \((F_x(g(x)))'=(F_{xx}(g(x)), F_{xy}(g(x))*g'(x)\). Wenn das auch falsch ist, dass weiss ich leider nicht wie es sonst geht.   ─   karate 25.04.2021 um 17:22
ja läuchtet mir nun wirklich ein, vielen Dank.   ─   karate 25.04.2021 um 19:38

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