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Aufrufe: 186     Aktiv: 02.07.2022 um 14:34

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Guten Tag,

ich hätte eine Frage bezüglich der Integrationsgrenzen dieses Beispieles.

Laut Angabe sollen die Grenzen des Integrals im kartesischen Koordinatensystem aufgestellt werden.
Dabei bin ich auf die Allgemeine Kreisgleichung gekommen.
Weiters habe ich es mit Polarkoordinaten probiert.
Bin leider auf keinen grünen zweig gekommen.

Ich bitte um Hilfe beim aufstellen der Integralgrenzen.

Vielen Dank

EDIT vom 01.07.2022 um 19:46:

Wäre es so richtig oder bin ich am Holzweg?

EDIT vom 01.07.2022 um 19:54:

Bin gerade draufgekommen ist leider falsch, da ein vorzeichenfehler in der Rechnung ist.
Wie wäre der richtige weg?
Habe leider keinen weiteren Ansatz für Z.

EDIT vom 02.07.2022 um 12:37:




Wäre es so ein richtiger weg?
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In Polarkoordinaten würde der Kreis nicht durch den Ursprung verlaufen, da (0,0) auf (0,0) abgebildet wird. Das würde echt schwierig werden für das ausrechnen.
Daher würde ich dir raten in kartesischen Koordinaten zu verbleiben. Deine Gleichung stimmt, also kannst du die Grenzen von y in Abh. von x ausdrücken, dann x in Abh. von z und z über die reellen Zahlen integrieren.
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Allg: Du müsstest weiterhin deinen Isomorphismus konstruieren, die Determinante der Jacobi-Matrix bestimmen und dann auch noch den Transformationssatz anwenden, wenn du in Polarkoordinaten bleiben möchtest.   ─   dragonbaron 01.07.2022 um 17:39

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ok danke , uns ist hier aber leider nicht klar wie wir auf die Grenzen für z kommen.   ─   gunther.klopf 01.07.2022 um 19:36

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Ist die Integrationsgrenze für z von - unendlich bis unendlich?   ─   xaverhauer 01.07.2022 um 20:09

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ja, x und y sind die Bereiche die man rekursiv einschränken muss   ─   dragonbaron 01.07.2022 um 20:24

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Wie kann ich das hier anwenden? Stimmt die y Grenze für das Integral?   ─   xaverhauer 01.07.2022 um 20:28

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also: Richtig ist \(\int_0^{3}dz\) jetzt noch die anderen Integrale in der Form \(\int_{x(z)}\int_{y(z,x)}dxdy\) Dein y Integral ist fast korrekt. Beachte nur einmal die Lösungen einer Wurzel (z.B.\(\sqrt(4)=\pm2\)). Dann fehlt dir lediglich das x-Integral nur in Abh. von z. Eine Vorschrift lautet \(z=2-x\) eine weitere musst du dir herleiten bzw du guckst dir wir mikn angibt den Plot an. Zuletzt musst du dir noch denken, was welchen Grenzen (obere, untere) entspricht, dies ist aber nicht so wichtig, da sich die Lösung um ein - unterscheiden wird. Zusammengefasst was richtig ist: \(\int_0^3dz\int_?dx\int_?^\sqrt{\frac{9}{4}...}ydy\)   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 08:40

Ich verstehe leider nicht, wie Z von 0 bis 3 sein kann, da es in der Z Achse erst bei 2 beginnt.   ─   herbertzeichen 02.07.2022 um 12:39

z von 0 bis 3 stimmt nicht. Die Schreibweise $\int_0^3dz$ stimmt nicht, denn das könnte man ja schonmal ausrechnen (=3). Es kommt auf die richtige Zuordnung der Integrale zu den dx/dy/dz an und diese kann man nicht so einfach herumverteilen zwischen den Integralen. Dass ein Vorzeichen keine Rolle spielt, ist auch nicht richtig (generell nicht in der Mathematik).   ─   mikn 02.07.2022 um 12:42

du hast doch jetzt den Plot. Dort geht die eingeschlossene Form von z=0 bis z=3. Dann kannst du also \(\int_0^3dz\) hinschreiben. Jetzt musst nur noch die Ellipsen parametrisieren. Wenn du bei einer beliebigen Höhe einen Schnitt machst, erkennst du, dass x nur von \(-\sqrt(4-z)\) bis \(2-z\) gehen darf. Dann guckst du dir y als Funktion von z und x an. Hier hast du bereits die Grenzen berechnet. Daher hatte ich etwas in der Art \(\int_0^3\int_{-\sqrt{4-z}}^{2-z}\int_{-\sqrt{...}}^\sqrt{...}ydydxdz\). Ich sehe in deinem Bild, dass du die Integrationsreihenfolge von x und y getauscht hast, weshalb dein Integral im vergleich von meinem andere Grenzen besitzt.   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 12:48

Wenn du für eine willkürliche Höhe einen waagerechten Schnitt machst, wie sieht die Form dann aus? In deiner Skizze hast du den Schnitt bei z=0 gemacht. Wenn du z aber änderst, was ändert sich dann? Die Ebene hat einen Einfluss auf den Kreis. Welchen?   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 12:50

@mikn kann es sein, dass wir von verschiedenen Bereichen sprechen, wenn z aus 0 bis 3 nicht stimmt? Ich rede von dem mit der z=0 und dem Graphen eingeschlossenen Bereich. Sprichst du von der "Spitze" bis zur z=2-x Ebene?   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 12:55

Im Plot sieht man ja genau, dass z von 0 bis 4 läuft (dass es bist 4 läuft, sieht man auch ohne Plot schon direkt an den Vorgaben zu z). Man kann es so umschreiben (also ausgehend von z, davon abhängig dann x und y), aber dann in den richtigen Grenzen und Schreibweisen. Und es ist aus meiner Sicht der kompliziertere Weg (hab ich aber nicht durchgerechnet).
Ach, jetzt weiß ich, was Du meinst und wie Du auf die 3 kommst. Ja, wenn es um die Fläche zwischen der x-y-Ebene (z=0) und der Ebene z=2-x gehen würde, dann würde z von 0 bis 3 laufen. Tut es aber nicht.
  ─   mikn 02.07.2022 um 13:03

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Bei uns würde jetzt nach der Integration für y , 0 heraus kommen. Wenn man jetzt nach x integriert würde dann x stehen oder 0?   ─   gunther.klopf 02.07.2022 um 13:29

das liegt daran, dass die Form in y Symmetrisch ist und das Feld antisymmetrisch   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 13:44

ok aber die Fläche ist ja nicht null also muss man hier anders vorgehen bzw einfach von 0 bis zu doppelten Grenze ?
  ─   gunther.klopf 02.07.2022 um 13:46

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bleibt dann 0 im Integral stehen und somit ist das Volumen 0 (was nicht sein kann) oder kommt dann einfach ein x rein und das Volumen ist dann 3 ?

oder rechnet man bei Y von 0 bis Wurzel und das Ganze Integral *2 ?
  ─   herbertzeichen 02.07.2022 um 13:49

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Du rechnest kein Volumen aus, sondern den Fluss des Feldes y durch dieses. Daher kann es 0 sein. Ein Volumenintegral ist allg \(\int_\Omega d\Omega\).   ─   dragonbaron 02.07.2022 um 14:06

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Das Integral ist 0, und das ist auch kein Widerspruch. Ein Integral ist kein Volumen. Wenn man das Volumen dieses Körpers berechnen wollte (Achtung: Volumen, nicht Fläche), dann integriert man ja nicht f(x,y,z)=y, sondern f(x,y,z)=1. Und kommt dann auf ca. 7.95.   ─   mikn 02.07.2022 um 14:15

Vermutlich ist die Aufgabe direkt so gedacht gewesen, dass man das Integral gar nicht ausrechnet, sondern dass man sieht, dass eine in y ungerade Funktion über einen in y symmetrischen Bereich integriert 0 ergibt, rechnerisch:
$\int_{-1}^2 \int_{-\sqrt...}^{\sqrt...}\int_{...}^{...} y\,dz\,dy\,dx =\int_{-1}^2 \int_{...}^{...}(\int_{-\sqrt...}^{\sqrt...}y\,dy)\,dz\,dx =\int_{-1}^2 \int_{...}^{...}0\,dz\,dx=0$
Unsere gemeinsamen Überlegungen waren dann eine nette Übung, aber für die Aufgabe nicht nötig. Damit es nicht ganz "umsonst" war (gelernt habt Ihr ja trotzdem was), rechnet doch das Volumen dieses Körpers aus.
  ─   mikn 02.07.2022 um 14:33

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Man sollte solche Aufgaben immer mit einer Skizze anfangen. Sonst ist das Diskutieren über die Grenzen nur ein Gestocher im Nebel. Ok, in 3d ist das mit der Skizze nicht so einfach, aber es gibt ja z.B. https://www.geogebra.org/3d
Die Schnittfläche der Ebene mit dem Paraboloid liegt über einem in der x-y-Ebene liegenden Kreis.
Berechne also erstmal diesen Kreis und skizziere ihn separat (2d). Daran sieht man dann x läuft von ... bis..., und y entsprechend des Kreises in Abhängigkeit davon. Aus der 3d-Skizze sieht man, dass die untere Grenze des Körpers durchgehend durch die Ebene bestimmt ist, und die obere die vom Paraboloid ist, also läuft z von 2-x bis 4-x^2-y^2.
Alles entsprechend einsetzen, dabei auf die richtige Reihenfolge der drei Integrale und den dazu passenden dx, dy, dz achten. Dann ausrechnen.
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Ich habe versucht diesen Lösungsweg umzusetzen und diesen oben gepostet. Wäre sehr dankbar, wenn Sie nochmal kurz drüberschauen könnten, ob es so korrekt ist.   ─   herbertzeichen 02.07.2022 um 12:42

Ja, ganz genau so.   ─   mikn 02.07.2022 um 12:44

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