Für die Quadratwurzel gilt allgemein: \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\).

Damit erhalten wir:

\( \phantom{=}\left( \sqrt{\frac{y^4}{x^3}} - \sqrt{\frac{x^3}{y^2}} \right) \cdot \sqrt{\frac{x^5}{y^6}} \\ = \left( \frac{\sqrt{y^4}}{\sqrt{x^3}} - \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^2}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{y^6}} \\ = \left( \frac{(y^4)^{\frac{1}{2}}}{(x^3)^{\frac{1}{2}}} - \frac{(x^3)^{\frac{1}{2}}}{(y^2)^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{(x^5)^{\frac{1}{2}}}{(y^6)^{\frac{1}{2}}} \\ = \left( \frac{y^{4\cdot \frac{1}{2}}}{x^{3\cdot \frac{1}{2}}} - \frac{x^{3\cdot \frac{1}{2}}}{y^{2\cdot \frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{x^{5\cdot \frac{1}{2}}}{y^{6\cdot \frac{1}{2}}} \\ = \left( \frac{y^2}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y} \right) \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{y^3} \\ = \frac{y^2}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{y^3} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{y^3} \\ = \frac{x}{y} - \frac{x^4}{y^4} \\ = \frac{x}{y} - \left( \frac{x}{y}\right)^{4}\)

Diese Umformungen darf man aber im Allgemeinen nur machen, wenn x und y positiv sind! Wenn man dies aber nicht voraussetzt und stattdessen von beliebigen reellen Zahlen ausgeht, so kann man da nicht wirklich etwas umformen, so dass es übersichtlicher wird. Von daher gehe ich stark davon aus, dass ihr diese Einschränkung annehmen dürft.