Invertierbare Matrix (Matrixnorm)

Aufrufe: 154     Aktiv: 16.10.2022 um 01:20

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|||A|||:=max ||Av||/||v|| vobei v nicht 0 sein darf und A eine NxN Matrix. Die Einheitsmatrix wird hier als I bezeichnet.

Ich soll jetzt zeigen, dass wenn |||A|||<1 ist, I-A invertierbar und es gilt (I-A)^(-1)=summe von k=0 bis inf. mit A^k.

Ich habe die invertierbarkeit mit den EW gezeigt, da der Betrag des EW von A (λ )<1 ist und somit die EW von I-A 1-λ ist (Folgt aus (I-A)x=λx).
Aber wie zeige ich dass die Inverse von I-A die Summe
von k=0 bis inf. mit A^k ist?
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Siehe Neumann-Reihe als Analogie zur geometrischen Reihe.
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