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Wenn du \( \forall x \exists y \) hast, dann darfst du \(y\) in Abhängigkeit zu \(x\) angeben. Du darfst also beispielsweise das \(y\) festlegen als \(y:=x+1\). Das ist bei \( \exists y \forall x \) nicht der Fall. Hier musst du das \(y\) angeben, bevor du weißt wie \(x\) aussieht.
Im konkreten Fall: Du kannst zwar zu jeder Zahl \(x\) ein \(y\) finden, dass größer ist als \(x\) (beispielsweise \(x+1\)) aber du kannst kein \(y\) finden, dass größer ist als alle ganzen Zahlen \(x\), denn \(x:=y+1\) ist nicht kleiner.
Vielleicht ein anderes Beispiel. Sagen wir du hast eine Gruppe aus Jungs und Mädchen. Es macht einen Unterschied ob ich sage
Normalerweise folgt aus der zweiten die erste Aussage. (\( \exists y\forall x:A(x,y) \Rightarrow \forall x \exists y:A(x,y) \)).
Ich muss sagen "normalerweise", denn es könnte auch die leere Menge vorliegen. Wenn die Menge der Jungs leer ist, dann gilt die erste aber nicht die zweite Aussage. Diesen Edge-Case muss man irgendwo im Hinterkopf behalten.
Im konkreten Fall: Du kannst zwar zu jeder Zahl \(x\) ein \(y\) finden, dass größer ist als \(x\) (beispielsweise \(x+1\)) aber du kannst kein \(y\) finden, dass größer ist als alle ganzen Zahlen \(x\), denn \(x:=y+1\) ist nicht kleiner.
Vielleicht ein anderes Beispiel. Sagen wir du hast eine Gruppe aus Jungs und Mädchen. Es macht einen Unterschied ob ich sage
- Jeder Junge hat eines der Mädchen geküsst. (\(\forall b\in \text{Boys} \exists g\in\text{Girls}:\text{kissed}(g,b)\))
- Ein Mädchen hat jeden Jungen geküsst. (\( \exists g\in\text{Girls}\forall b\in \text{Boys}:\text{kissed}(g,b)\))
Normalerweise folgt aus der zweiten die erste Aussage. (\( \exists y\forall x:A(x,y) \Rightarrow \forall x \exists y:A(x,y) \)).
Ich muss sagen "normalerweise", denn es könnte auch die leere Menge vorliegen. Wenn die Menge der Jungs leer ist, dann gilt die erste aber nicht die zweite Aussage. Diesen Edge-Case muss man irgendwo im Hinterkopf behalten.
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cunni
Punkte: 705
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Gut, dann bleibe erst einmal beim Beispiel mit den Jungs und Mädchen. Ich habe dir die beiden Aussagen ja auch in logischer Form gegeben. \( \forall b\in \text{Boys}\exists g\in \ldots \).
Wie du siehst, sind beide Aussagen identisch mit der einen Ausnahme, dass die Quantoren vertauscht sind. Die Bedeutung auf deutsch ist aber eine andere. Wenn ein Mädchen jeden Jungen geküsst hat, dann hat auch jeder Junge ein Mädchen geküsst. Umgekehrt gilt dies aber nicht. Es könnte auch jeder Junge ein anderes Mädchen geküsst haben.
Will ich die erste Aussage beweisen, dann muss ich zu jedem Jungen ein Mädchen finden, dass diesen Jungen geküsst hat. Ich weiß also bereits den Namen des Jungen, bevor ich das Mädchen suchen gehe.
Beim zweiten ist das nicht der Fall. Der Quantor \(\exists g\) kommt zuerst. Das heißt ich muss einen Mädchennamen benennen, das einen konkreten Jungen geküsst hat, bevor ich weiß um welchen Jungen es sich handelt. Es muss für jeden Jungen funktionieren.
Beim Beispiel mit den ganzen Zahlen ist es das gleiche.
1.) Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine größere ganze Zahl. \(\forall x\exists y: x\leq y\)
2.) Es gibt eine ganze Zahl, die größer ist als jede ganze Zahl. \(\exists y \forall x: x\leq y\)
Es ist exakt wie bei den Jungs und Mädchen.
Bei der Aussage 1 soll ich eine größere Zahl \(y\) finden und weiß bereits wie die kleinere Zahl \(x\) lautet. Das ist ganz einfach. Ich nehme einfach \(x+1\).
Bei der Aussage 2 soll ich die größere Zahl \(y\) finden bevor ich weiß, wie die kleinere Zahl \(x\) aussieht. Das geht aber nicht. Es gibt keine größte ganze Zahl. ─ cunni 21.11.2021 um 05:36
Wie du siehst, sind beide Aussagen identisch mit der einen Ausnahme, dass die Quantoren vertauscht sind. Die Bedeutung auf deutsch ist aber eine andere. Wenn ein Mädchen jeden Jungen geküsst hat, dann hat auch jeder Junge ein Mädchen geküsst. Umgekehrt gilt dies aber nicht. Es könnte auch jeder Junge ein anderes Mädchen geküsst haben.
Will ich die erste Aussage beweisen, dann muss ich zu jedem Jungen ein Mädchen finden, dass diesen Jungen geküsst hat. Ich weiß also bereits den Namen des Jungen, bevor ich das Mädchen suchen gehe.
Beim zweiten ist das nicht der Fall. Der Quantor \(\exists g\) kommt zuerst. Das heißt ich muss einen Mädchennamen benennen, das einen konkreten Jungen geküsst hat, bevor ich weiß um welchen Jungen es sich handelt. Es muss für jeden Jungen funktionieren.
Beim Beispiel mit den ganzen Zahlen ist es das gleiche.
1.) Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine größere ganze Zahl. \(\forall x\exists y: x\leq y\)
2.) Es gibt eine ganze Zahl, die größer ist als jede ganze Zahl. \(\exists y \forall x: x\leq y\)
Es ist exakt wie bei den Jungs und Mädchen.
Bei der Aussage 1 soll ich eine größere Zahl \(y\) finden und weiß bereits wie die kleinere Zahl \(x\) lautet. Das ist ganz einfach. Ich nehme einfach \(x+1\).
Bei der Aussage 2 soll ich die größere Zahl \(y\) finden bevor ich weiß, wie die kleinere Zahl \(x\) aussieht. Das geht aber nicht. Es gibt keine größte ganze Zahl. ─ cunni 21.11.2021 um 05:36
─ sebas4444 20.11.2021 um 17:40