Wir betrachten den vollständigen metrischen Raum \( ( \mathbb{R}, \vert \cdot \vert ) \) mit der abgeschlossenen Teilmenge \( [1,2] \) und definieren die Funktion \( \phi : [1,2] \rightarrow [1,2] \) durch \( \phi(x) = \sqrt{2 + \sqrt x} \).

Die Funktion \( \phi \) ist Wohldefiniert, denn für \(2 \ge x \ge 1 \) ist \( 2 \ge \sqrt {2 + \sqrt 2} \ge \sqrt{2 + \sqrt x} \ge \sqrt 3 \ge 1 \).

Nun zeigen wir, dass \( \phi \) auch eine Kontraktion ist. Dazu machen wir uns zunächst eine Eigenschaft der Wurzelfunktion klar: Für \( x,y \ge C \) mit einer Konstanten \( C > 0 \) gilt

\( \left| \frac{x-y}{\sqrt x - \sqrt y} \right| = \vert \sqrt x + \sqrt y \vert \ge 2 \sqrt C \) bzw. \( \vert \sqrt x - \sqrt y \vert \le \frac{1}{2 \sqrt C} \vert x - y \vert \).

Für \(x,y \ge 1 \) folgt hieraus unter Verwendung von \( (2+\sqrt x), (2+\sqrt y) \ge 3 \), dass gilt

\( \vert \phi(x) - \phi(y) \vert = \vert \sqrt{2 + \sqrt x} - \sqrt{2 + \sqrt y} \vert \le \frac{1}{2 \sqrt 3} \vert (2 + \sqrt x) - (2 + \sqrt y) \vert = \frac{1}{2\sqrt 3} \vert \sqrt x - \sqrt y \vert \le \frac{1}{2 \sqrt 3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt 1} \vert x - y \vert = \frac{1}{4 \sqrt 3} \vert x - y \vert \).

Somit ist \( \phi \) tatsächlich eine Kontraktion.

Damit sind alle Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Die Funktion \( \phi \) besitzt also einen eindeutigen Fixpunkt \( p \in [1,2] \). Für diesen gilt \( \sqrt{ 2 + \sqrt p } = p\) bzw. \( p^4 - 4p^2 - p + 4 = 0 \). Der Fixpunkt ist also eine Lösung der Polynomgleichung \( x^4 - 4x^2 - x + 4 = 0 \).

Für die zu betrachtende Folge gilt nun: \( x_0 = \sqrt 2 \in [1,2] \) und \( x_{n+1} = \phi(x_n) \). Der banachsche Fixpunktsatz besagt, dass diese Folge gegen \( p \) konvergiert, also gegen eine Lösung der angegebenen Polynomgleichung.

Um zu zeigen, dass \( p \in [ \sqrt 3, 2] \) ist, schränken wir die Funktion \( \phi \) im Definitions- und Wertebereich auf \( [\sqrt 3, 2] \) ein. Dies ist möglich, da für \( x \ge \sqrt 3\) auch \( \phi(x) = \sqrt{2 + \sqrt x} \ge \sqrt{ 2 + \sqrt{ \sqrt 3}} \ge \sqrt 3 \) ist. Da \( [ \sqrt 3, 2] \subset [1,2] \) ist, bleibt \( \phi \) weiterhin eine Kontraktion und da \( [\sqrt 3, 2] \) abgeschlossen ist, lässt sich erneut der banachsche Fixpunktsatz anwenden. Dieser liefert einen Fixpunkt von \( \phi \) im Intervall \( [\sqrt 3, 2] \). Dieser Fixpunkt muss gleich \(p\) sein, denn \(p\) ist der eindeutige Fixpunkt von \( \phi \) im Intervall \([1,2]\). Also liegt \( p \) bzw. die Lösung der Polynomgleichung, gegen die unsere Folge konvergiert, tatsächlich zwischen \( \sqrt 3\) und \(2\).