Äquivalenzrelation mit Tupeln

Aufrufe: 209     Aktiv: 01.02.2022 um 21:10

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Hallo ihr Lieben, ich lerne derzeit für meine anstehende Klausur und habe hier zwei Aufgaben, wo man mit Tupeln arbeiten muss.

1) $\sim$ auf $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ gegeben durch :
$$(x_1,x_2) \sim (y_1,y_2) : \iff x_1 \geq y_1, x_2 \geq y_2$$


2) $R:= \{((a,b),(c,d)) | (a,b),(c,d) \in \mathbb{R}^2, a+b \leq c+d \}$


Ich soll hier jeweils prüfen, ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt. Das allgemeine Vorgehen ist mir da auch bekannt und ich habe das auch schon oft gemacht, aber ich verstehe nicht so wirklich, wie man das auf die Tupel anwendet.
Z.B. reflexivität bei der 2). Da müsste ich zeigen, dass $a \sim a$ gilt, in der Relation steht da nun $a+b$, muss ich also einfach $a+b \leq a+b$ zeigen? Bei der Symmetrie würde ich mal behaupten, dass das nicht gilt, aber wie man mit diesen Tupeln nachweisen kann ist mir unklar.
Freue mich auf eure Hilfe.
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Du zeigst nicht $a\sim a$, sondern $(a,b)\sim (a,b)$. Das funktioniert dann wie sonst auch.
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Selbstständig, Punkte: 27.29K

 

Das klingt einleuchtend. Ich würde das einmal exemplarisch an der 2) machen wollen:

Reflexiv: zz: $(a,b) \sim (a,b) \iff a+b \leq a+b$ und das gilt immer

Symmetrisch: zz: $(a,b) \sim (c,d) \Rightarrow (c,d) \sim (a,b)$
Das gilt nicht, Beweis durch Gegenbsp: Seien $a=1, b=2, c=3, d=4$, dann würde gelten:
$1+2 = 3 \leq 7 = 3+4 \Rightarrow 7 \leq 3$ Ein klarer Widerspruch, daraus folgt: nicht symmetrisch

Transitiv: zz: $(a,b) \sim (c,d) \land (c,d) \sim (e,f)\Rightarrow (c,d) \sim (a,b)$
$\iff a+b \leq c+d \land c+d \leq e+f \Rightarrow a+b \leq e+f \iff (a,b) \sim (e,f)$

==> Die Relation ist relfexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch, also liegt keine Äquivalenzrelation vor. Haut das so hin?
  ─   birgitta 01.02.2022 um 19:19

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.