Die Abbildung \(h\colon A\cup B\to \{1,2,\dotsc,m+n\}\) welche durch
\(h(x)\colon=\begin{cases}f(x),& \text{wenn } x\in A \\ g(x)+m, &\text{wenn } x\not\in A\end{cases}\)
definiert ist, ist injektiv da aus \(h(x)=h(x')\) entweder \(f(x)=f(x')\) oder \(g(x)=g(x')\) folgt und da \(f,g\) injektiv sind..
Folglich ist \(h\colon A\cup B\to h(A\cup B)\) eine Bijektion auf die Teilmenge \(h(A\cup B)\) von \(\{1,2,\dotsc n+m\}\) welche nach Theorem 2.2.2 endlich ist. Also gibt es eine Bijektion \(\psi\colon h(A\cup B)\overset{\sim}{\to} \mathbf{k}\), für ein \(k\in\mathbb{N}\).
Die Verkettung \(\psi\circ h\) gibt eine Bijektion \(A\cup B\overset{\sim}{\to} \mathbf{k}\), as die Endlichkeit von \(A\cup B\) zeigt.
Im Fall \(A\cap B=\emptyset\) ist \(h\) eine Bijektion und es gilt folglich \(k=m+n\), also die zweite Aussage welche zu beweisen war.
Student, Punkte: 160