Wann ist der Rang (Kern) = 1 ?

Aufrufe: 46     Aktiv: 11.03.2021 um 11:35

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Seien f, g : R^n→ R lineare Abbildungen und U := {x ∈ R^n | f(x) = 0 = g(x)} ⊂ R^n ein Unterraum. Dann gilt dim(U) ≥ n − 2. 

Lösung:

Wahr. Es ist U = Ker(f) + Ker(g). Nach dem Dimensionssatz gilt
dim(Ker(f)) = n − Rang(f) ≥ n − 1,
da der Rang von f nicht großer als 1 sein kann. Analog fur g.  (Warum??)
Es folgt mit dem Dimensionssatz
dim(U) = dim(Ker(f)) + dim(Ker(g)) − dim(Ker(f) ∩ Ker(g)) ≥ (n − 1) + (n − 1) − n = n − 2.

Der Rang ist die Anzahl von lin. unabhängigen Vektoren, aber woher wissen wir dass es nur ein solches Vektor in f und g gibt?
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Student, Punkte: 44

 

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1 Antwort
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Hi,
die Abbildungsmatrix von \(f\) ist eine \( 1\times n\)-Matrix. Somit kann ihr Rang höchstens \(1\) sein. Alternativ ist der Rang einer Abbildung die Dimension des Bildes. Da das Bild von \(f\) ein Untervektorraum von \(\mathbb R^1\) ist, kann die Dimension höchstens \(1\) sein.
Ich hoffe das hilft dir weiter.
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Student, Punkte: 960
 

Oh, das habe ich komplett vergessen... :D Vielen Dank!   ─   alexandrakek 11.03.2021 um 11:34

Gern geschehen :)   ─   anonym42 11.03.2021 um 11:35

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