Hallo,

wir haben hier i.i.d verteilte Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n \sim \mathcal N(\mu , \sigma^2) $.
Wenn wir von diesen Zufallsvariablen nun den Mittelwert bestimmen, ergibt dies

$$ \overline X = \frac {X_1 + \ldots + X_n} n $$

Jetzt wollen wir wissen, wie die Zufallsvariable $\overline X$ verteilt ist. Da wir hier i.i.d normalverteilte Zufallsvariblen haben, ist der Mittelwert auch normalverteilt. Wir müssen nun nur noch den Erwartungswert und die Varianz bestimmen. Es gilt nun

$$ \mathbb E[\overline X] = \mathbb E\left[ \frac {X_1 + \ldots + X_n} n \right] = \frac 1 n \cdot \left( \mathbb E[X_1] + \ldots + \mathbb E[X_n] \right) = \frac 1 n \cdot \left( \underset{n-mal}{\underbrace{\mu + \ldots + \mu}} \right) = \frac 1 n \cdot n \cdot \mu = \mu $$

Dies folgt sofort aus der Linearität des Erwartungswertes. Die Varianz ist nun aber nicht mehr linear. Es gilt

$$ \mathrm{Var}[aX+bY] = a^2 \mathrm{Var}[X] + b^2 \mathrm{Var}[Y] + 2ab \mathrm{Cov}[X,Y] $$

Da die Zufallsvariablen i.i.d verteilt sind, ist die Kovarianz gleich Null. Wir erhalten also

$$ \mathrm{Var}[\overline X] = \mathrm{Var}\left[ \frac {X_1 + \ldots + X_n} n \right] = \frac 1 {n^2} \cdot \mathrm{Var}[X_1 + \ldots + X_n] = \frac 1 {n^2} \left( \mathrm{Var}[X_1] + \ldots + \mathrm{Var}[X_n] \right) = \frac 1 {n^2} \cdot \left(  \underset{n-mal}{\underbrace{\sigma^2 + \ldots + \sigma^2}} \right) = \frac {\sigma^2} n $$

Das bedeutet, dass der Mittelwert die Zufallsvariable $\overline X \sim \mathcal N\left( \mu , \frac {\sigma^2} n \right) $ bildet. 

Warum zeige ich das nochmal alles? Die Varianz deiner neuen Zufallsvariable ist also $ \frac {\sigma^2} n$. Für deine Werte ist die neue Varianz also gleich $1$. Hier wird also mit der Varianz weiter gerechnet. Sie ist eben nur nicht mehr die Varianz der Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n$, welche $\sigma^2 $ ist.

Grüße Christian