Normalverteilte Zufallsvariable

Aufrufe: 45     Aktiv: 01.07.2021 um 17:39

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Hallo,

bezüglich folgender Aufgabe hätte ich eine Frage. 

X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 3 und  \(  \sigma^2 =4 \) und \(  n =4 \)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt X quer in dem Intervall [2;4]?

Die Formel lautet dafür \( Z= \frac {X-\mu} {\sigma} \). 

In der vorherigen Teilaufgabe hat man bestimmt, dass X quer ~ N = (\( \mu, \frac {\sigma^2} {n} \)) ist. Eingesetzt wäre dies X quer ~ N (\( 3, \frac {4} {4} \))

Weshalb rechnet man mit \( \frac {4} {4} =1 \) weiter. Ich hätte nämlich die Varianz genommen und die Wurzel gezogen und damit gerechnet.

Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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Student, Punkte: 25

 
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Hallo,

wir haben hier i.i.d verteilte Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n \sim \mathcal N(\mu , \sigma^2) $.
Wenn wir von diesen Zufallsvariablen nun den Mittelwert bestimmen, ergibt dies

$$ \overline X = \frac {X_1 + \ldots + X_n} n $$

Jetzt wollen wir wissen, wie die Zufallsvariable $\overline X$ verteilt ist. Da wir hier i.i.d normalverteilte Zufallsvariblen haben, ist der Mittelwert auch normalverteilt. Wir müssen nun nur noch den Erwartungswert und die Varianz bestimmen. Es gilt nun

$$ \mathbb E[\overline X] = \mathbb E\left[ \frac {X_1 + \ldots + X_n} n \right] = \frac 1 n \cdot \left( \mathbb E[X_1] + \ldots + \mathbb E[X_n] \right) = \frac 1 n \cdot \left( \underset{n-mal}{\underbrace{\mu + \ldots + \mu}} \right) = \frac 1 n \cdot n \cdot \mu = \mu $$

Dies folgt sofort aus der Linearität des Erwartungswertes. Die Varianz ist nun aber nicht mehr linear. Es gilt

$$ \mathrm{Var}[aX+bY] = a^2 \mathrm{Var}[X] + b^2 \mathrm{Var}[Y] + 2ab \mathrm{Cov}[X,Y] $$

Da die Zufallsvariablen i.i.d verteilt sind, ist die Kovarianz gleich Null. Wir erhalten also

$$ \mathrm{Var}[\overline X] = \mathrm{Var}\left[ \frac {X_1 + \ldots + X_n} n \right] = \frac 1 {n^2} \cdot \mathrm{Var}[X_1 + \ldots + X_n] = \frac 1 {n^2} \left( \mathrm{Var}[X_1] + \ldots + \mathrm{Var}[X_n] \right) = \frac 1 {n^2} \cdot \left(  \underset{n-mal}{\underbrace{\sigma^2 + \ldots + \sigma^2}} \right) = \frac {\sigma^2} n $$

Das bedeutet, dass der Mittelwert die Zufallsvariable $\overline X \sim \mathcal N\left( \mu , \frac {\sigma^2} n \right) $ bildet. 

Warum zeige ich das nochmal alles? Die Varianz deiner neuen Zufallsvariable ist also $ \frac {\sigma^2} n$. Für deine Werte ist die neue Varianz also gleich $1$. Hier wird also mit der Varianz weiter gerechnet. Sie ist eben nur nicht mehr die Varianz der Zufallsvariablen $X_1, \ldots , X_n$, welche $\sigma^2 $ ist.

Grüße Christian
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Vielen Dank für deine super hilfreiche und auch sehr ausführliche Antwort! Hab das ganze jetzt verstanden und auch den Hintergrund dafür! Ich wünsche noch einen schönen Tag!   ─   wuseldusel123 01.07.2021 um 17:34

Das freut mich sehr zu hören. Sehr gerne :)
Danke das wünsche ich dir auch!
  ─   christian_strack 01.07.2021 um 17:39

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