Zur ersten Frage: Alles weitgehend ok.
Generell darf man $\lim$ erst hinschreiben, wenn er wirklich existiert. Das erspart zusätzlich Schreibarbeit. Korrekt wäre:
$\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1{\sqrt[n]n}\cdot |\frac12 (1+i)| = \frac1{\sqrt[n]n} \cdot \frac1{\sqrt{2}} \longrightarrow 1\cdot \frac1{\sqrt{2}} < 1$.
Zur zweiten Frage:
Das ist schon etwas spezieller:
Da sich ja der Wert von $i^n$ alle 4 Schritte wiederholt, schreiben wir die Reihe um:
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{i^n}n = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{i^{4n+1}}{4n+1} +  \frac{i^{4n+2}}{4n+2} +\frac{i^{4n+3}}{4n+3} +\frac{i^{4n+4}}{4n+4} \\
=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{i}{4n+1} +  \frac{-1}{4n+2} +\frac{-i}{4n+3} +\frac{1}{4n+4}\\
=i\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{4n+1} -\frac1{4n+3}
+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{4n+4} -\frac1{4n+2}\\
= 2i\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{16n^2+16n+3}
-\sum\limits_{n=0}^\infty \frac1{8n^2+12n+4}$
und diese beiden Reihen konvergieren.
Ich weiß nicht, ob es auch einfacher geht. Prüfe alles genau, vlt hab ich mich irgendwo vertippt.
Am Ende kommt es jedenfalls richtig raus: $=-\frac12\ln 2 +i\frac\pi4$ (aber das ist hier nicht gefragt und wäre auch eine aufwendige Rechnung).