P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B)

Aufrufe: 450     Aktiv: 18.11.2020 um 23:31
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Seien A, B beliebige Mengen 

Beweisen oder Widerlegen Sie:

P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B)

 

Mein Gegenbeispiel:

        A:= {1, 2}

        B:= {2, 3}

 

        A\B:= {1}

 

        P(A\B) = {∅, {1}}

 

        P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

        P(B) = {∅, {2}, {3}, {2, 3}}

 

        P(A) \ P(B) = {{1}, {1, 2}}

 

        Da ∅ ∉ {{1}, {1, 2}} = P(A) \ P(B)

 

        und ∅ ∉ {∅, {1}} = P(A\B)

 

        folgt P(A\B) ⊈ P(A) \ P(B)

 

Somit kann P(A \ B) ⊆ P(A) \ P(B) nicht allgemein gelten.

 

 

Ist das korrekt? Habe ich mit meinem Gegenbeispiel die Aussage widerlegt?

 

Danke

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Ja, so wie ich das sehe, hast du die Aufgabe perfekt gelöst.

Man kann sich sogar überlegen, dass das Gegenteil stimmt. Es ist immer \( P(A \setminus B) \not \subset P(A) \setminus P(B) \), da stets \( \emptyset \in P(A \setminus B) \) und \( \emptyset \notin P(A) \setminus P(B) \) ist. Aber danach war ja hier gar nicht gefragt.

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Student, Punkte: 7.02K

 
Danke für deine schnelle Antwort. Du hast recht, das Gegenteil stimmt.   ─   noob420 18.11.2020 um 23:27
Vielleicht noch als kleine Anmerkung. Du hast dich verschrieben. Bei \( \emptyset \notin \{ \emptyset , \{1\} \} = P(A \setminus B) \) meintest du \( \in \).   ─   42 18.11.2020 um 23:29
Du hast recht, da habe ich mich beim Kopieren der Symbole vertan. Danke.   ─   noob420 18.11.2020 um 23:30
Hab ich mir schon gedacht ;) Sehr gerne.   ─   42 18.11.2020 um 23:31

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