Grenzwert einer Folge mit Wurzel

Erste Frage Aufrufe: 606     Aktiv: 09.01.2022 um 16:23
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Hallo zusammen,

ich soll eine Folge auf Konvergenz untersuchen und sofern ein Grenzwert existiert, diesen angeben.

nachdem ich die 3. binomische Formel benutz habe, konnte ich ein wenig was weg kürzen, nun bereitet mir aber die Wurzel im Nenner Kopfschmerzen und ich finde keinen richtigen Ansatz mehr.

Könnte ich beide Seiten quadrieren um die Wurzel zu eleminieren und dann versuchen n bzw n^2 auszuklammern? Um ggf. die Grenzwertsätze anzuwenden und (1/n) gegen Null laufen zu lassen? Oder gibt es da einen "einfacheren" Weg, den ich einfach nicht erkenne, da ich nicht auf die Lösung komme.

Die "Musterlösung" sagt nur, dass 5/2 der Grenzwert ist, es sind aber keine Rechenwege angegeben.

Vielen Danke für Eure HIlfe!

(Bilder siehe unten)



Mein Ansatz:

EDIT vom 09.01.2022 um 15:17:

Edit:

EDIT vom 09.01.2022 um 16:18:

Edit 2: Vielen dank! jetzt habe ich es auch verstanden :D

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1 Antwort
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Zähler und Nenner durch n teilen; 
für \(n \to \infty \) geht dann der Zähler gegen 15 und der Nenner gegen 6
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Auf die 15 im Zähler komme ich, aber wie komme ich auf die 6 im Nenner? Wenn ich das n im Nenner ausklammer, hab ich den ganzen Wurzelausdruck durch n stehen und weiß dann leider dort nicht weiter. Bzw wie ich die Wurzel loswerde, damit der Nenner 6 ergibt.
Edit: ich füge mal den Schritt ein   ─   jl5656 09.01.2022 um 15:12
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\({1 \over n} \) als \({1 \over n^2}\) in die Wurzel ziehen , dann bleibt 9 als absoluter Term unter der Wurzel stehen   ─   scotchwhisky 09.01.2022 um 15:16
Vielen dank! hab nicht daran gedacht innerhalb der Wurzel zu erweitern und mich erst am Ende mit der Wurzel zu beschäftigen, nachdem ich die einzelnen Terme gegen Null habe laufen lassen. Perfekt, hat mir sehr weiter geholfen! Werde aber bestimmt im Lauf des Tages noch weitere Aufgaben in diese Richtung posten, da ich noch einige trigonometrische Folgen habe mit denen ich mich noch auseinander setzen muss.   ─   jl5656 09.01.2022 um 16:23

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